用户: Ruiqi chen/Algebraic Number Theory/代数整数环是 Bézout 整环

本文欲证明全体代数整数构成 Bézout 整环.

定义 1 (Bézout 整环). 一个整环称作 Bézout 整环, 若其有限生成理想均为主理想.

定理 2. 全体代数整数构成的环 $R$ 是 Bézout 整环.

证明. 任意取有限生成理想 $I={\sum }_{i=1}^n{\alpha }_{i}R$, 若 ${\alpha }_i\in K$ 则有: $$I=(I\cap {\mathcal{O}}_K)R$$(1)取定 $I$ 依赖 $\mathbb{Q}[{\alpha }_i]$ 是 $\mathbb{Z}$ 的有限扩张, 记其类数为 $\chi$, 此时有: $${(I\cap {\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}[{\alpha }_i]})}^{\chi }=\beta {\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}[{\alpha }_i]}$$(2)令 ${\gamma }^{\chi }=\beta$, $I^{\chi }$ 之生成元仍在 $\mathbb{Q}[{\alpha }_i]$ 中, 不难验证等式: $${(I\cap {\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}[{\alpha }_i,\gamma ]})}^{\chi }={(I\cap {\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}[{\alpha }_i]})}^{\chi }{\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}[{\alpha }_i,\gamma ]}=\beta {\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}[{\alpha }_i]}{\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}[{\alpha }_i,\gamma ]}={(\gamma {\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}[{\alpha }_i,\gamma ]})}^{\chi }$$(3)利用理想唯一分解可在上式中开 $\chi$ 次方, 故有: $$I=(I\cap {\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}[{\alpha }_i,\gamma ]})R=\gamma {\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}[{\alpha }_i,\gamma ]}R=\gamma R$$(4)

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