用户: Ruiqi chen/一类群的非单性

本文旨在证明 $p^3-p$ 阶群 $G$ 不是单群, 其中 $p$ 是奇素数.

记 $S_n$ 为 $n$ 阶交换群, $A_n$ 为 $n$ 阶交错群, 读者应熟悉 Sylow 定理的运用.

引理 1. 对于任意素数 $p$, 任意选取 $p$ 阶元, 不妨记作 $\alpha :=(1,2,\dots ,p)\in S_{p+1}$, 及其生成的子群 $P$, 则$$N_{S_{p+1}}(P)=\left\{x\mapsto ax+b\in F_p:a\in {F_p}^{\times },b\in F_p\right\}\subseteq S_p$$(1)

证明. 取 $\sigma \in N_{S_{p+1}}(P)$, 则 $\sigma \alpha {\sigma }^{-1}={\alpha }^k$, 有: $$\left\{p+1\right\}=\mathrm{Stab}(P)=\mathrm{Stab}(\sigma P{\sigma }^{-1})=\sigma \mathrm{Stab}(P)=\sigma \left\{p+1\right\}$$(2)故 $\sigma (p+1)=p+1$, 任意取 $r\in F_p$, 则: $$\sigma (r)=\sigma {\alpha }^{r}p={\alpha }^{kr}\sigma (p)=kr+\sigma (p)$$(3)命 $a=k,b=\sigma (p)$ 即可.

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推论 2. 有: $$\left|N_{S_{p+1}}(P)\right|=p(p-1)$$(4)

引理 3. 若 $G$ 是单群, 则 $G$ 有 $p+1$ 个 Sylow $p$-子群.

证明. 不难发现 $G$ 的 Sylow $p$-子群阶为 $p$, 依赖 Sylow 第三定理知有 $kp+1$ 个 $p$-子群, 其中 $kp+1\mid p^2-1$, 而: $$0\equiv k{p}^2-k\equiv -p-k\mathrm{mod}kp+1$$(5)给出不等式 $p+k\ge kp+1$, 仅能 $k=1$.

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引理 4. 若 $G$ 是单群, 有嵌入 $\iota :G\hookrightarrow S_{p+1}$.

证明. 考察 $G$ 在全体 Sylow $p$-子群上的共轭作用给出的 $\iota :G\to S_{p+1}$, 非平凡基于 $p+1>1$ 且 Sylow 第二定理保证的齐性, 依赖单性知 $\ker \iota =\left\{e\right\}$.

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引理 5. 若 $G$ 是单群, 选取 $G$ 的 Sylow $p$-子群 $P$, 有 $\iota (N_G(P))=N_{S_{p+1}}(P)$.

证明. 寻定义知 $N_G(P)=\mathrm{Stab}(P)$, 轨道长 $p+1$, 故 $\left|N_G(P)\right|=p(p-1)$, 另一方面, 业已证明 $\left|N_{S_{p+1}}(P)\right|=p(p-1)$ 与 $\iota (N_G(P))\subseteq N_{S_{p+1}}(P)$, 故 $N_G(P)=N_{S_{p+1}}(P)$.

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引理 6. $G$ 不是单群.

证明. 只需验证 $A_{p+1}\cap G$ 非平凡, 选定原根 $a\in {(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})}^{\times }$ 取: $$\begin{array}{rl}x\mapsto x+1& \in A_{p+1}\cap G\\ x\mapsto ax& \in G\setminus (A_{p+1}\cap G)\end{array}$$

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