用户: Polonaiso/模曲线的 Hasse-Weil zeta 函数: Langlands-Kottwitz 方法

在这篇文章中我们试图介绍 Peter Scholze 的论文 “The Langlands-Kottwitz approach for the modular curve” 中的结果.

1定理陈述

设 $m$ 是两个大于等于 3 的互素整数的乘积. 对 $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[\frac{1}{m}])$ 上的紧模曲线 ${\overline{\mathcal{M}}}_m:={\overline{\mathcal{M}}}_{\Gamma (m)}$, 定义它的 Hasse-Weil $\zeta$ 函数为 $\zeta ({\overline{\mathcal{M}}}_m,s)={\prod }_p{\zeta }_p({\overline{\mathcal{M}}}_m,s)$, 其中$${\zeta }_p({\overline{\mathcal{M}}}_m,s)=\prod _{i=0}^2\det (1-{\Phi }_p{p}^{-s}|{\mathrm{H}}_c^i({\overline{\mathcal{M}}}_{m,{\overline{\mathbb{Q}}}_p},{\overline{\mathbb{Q}}}_l{)}^{I_{{\mathbb{Q}}_p}}{)}^{(-1{)}^{i+1}}.$$则定理断言它可写成一些自守 $L$-函数的乘积.

定理 1.1 (P.Scholze). $$\zeta ({\overline{\mathcal{M}}}_m,s)=\prod _{\pi \in {\Pi }_{\text{disc}}({\mathrm{GL}}_2({\mathbb{A}}_{\mathbb{Q}}),1)}L(\pi ,s-\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{2}m(\pi )\chi ({\pi }_{\infty })\dim {\pi }_f^{K_m}}.$$其中,

•	${\Pi }_{\text{disc}}({\mathrm{GL}}_2({\mathbb{A}}_{\mathbb{Q}}),1)$ 中的元素 $\pi ={\pi }_f\otimes {\pi }_{\infty }$ 是在 $L^2({\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Q}){\mathbb{R}}^{\times }\backslash {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{A}}_{\mathbb{Q}}))$ 的离散谱中, 满足 ${\pi }_{\infty }$ 的中心特征和无穷小特征均平凡的自守表示.
•	$\chi ({\pi }_{\infty })={\sum }_{i=0}^2(-1{)}^i\dim {\mathrm{H}}^i({\mathfrak{gl}}_2,{\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R}),{\pi }_{\infty })$, 当 ${\pi }_{\infty }$ 是一维特征时为 2, 否则为-2.
•	$K_m=\ker ({\mathrm{GL}}_2(\hat{\mathbb{Z}})\to {\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}))$.
•	$m(\pi )$ 是 $\pi$ 在 $L^2({\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Q}){\mathbb{R}}^{\times }\backslash {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{A}}_{\mathbb{Q}}))$ 的重数, ${\mathrm{GL}}_2$ 的重数 1 性质说明它若非零则只能是 1.

2证明思路

这种风格的结果肇源已久, 是 Langlands 纲领的中心问题之一, 其基本思想就是迹公式的比较.

在局部进行观察, 等式左边要计算几何 Frobenius 的迹, 它可以通过 Grothendieck-Lefschetz 迹公式化为有限域上的计数问题. 选取合适的测试函数后, 可以将计数结果转化为关于这个函数的一系列轨道积分的和式.

而这恰可诠释为 Arthur-Selberg 迹公式的几何侧, 于是几何 Frobenius 的迹可以由 Arthur-Selberg 迹公式的谱侧表达. 但我们在选取测试函数时将会利用局部 Langlands 对应, 使得它在谱侧的迹恰好给出自守 $L$-函数的局部因子的信息, 从而完成证明.

3难点

虽然短短两段就描述了大致过程, 但其中每一句单独拿出来都具有相当的难度. Scholze 在这篇文章里的主要工作正是攻克了几何侧的诸多难题, 他的方法在后续继续发展, 一个高峰即是他对 ${\mathrm{GL}}_n$ 的局部 Langlands 对应的新证明.

Grothendieck-Lefschetz 迹公式侧的难点大致有:

•	只有开模曲线 ${\mathcal{M}}_m$ 的模诠释较好计算, 于是先考虑开模曲线的计算, 尖点处需要另外处理.
•	只有在 ${\mathcal{M}}_m$ 具有好约化 (即 $(p,m)=1$) 时才可以直接转化为计数问题, 而在坏约化 (即 $p|m$) 时无法直接约化, 我们需要寻找整模型. 具体而言, 设 $m=p^r{m}^{\prime }$, 其中 $(p,m^{\prime })=1$, 那么我们具有 $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[\frac{1}{m^{\prime }}])$ 上的 ${\mathcal{M}}_{m^{\prime }}$. 把 $p$ 处的级结构换为 Drinfeld 级结构, 就获得了 $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[\frac{1}{m^{\prime }}])$ 上的 ${\mathcal{M}}_{\Gamma (p^r),m^{\prime }}$, 它满足 ${\mathcal{M}}_{\Gamma (p^r),m^{\prime }}\otimes \mathbb{Z}[\frac{1}{m}]\cong {\mathcal{M}}_m$.
•	${\mathcal{M}}_{\Gamma (p^r),m^{\prime }}$ 在 $p$ 处并不具有好约化, 于是无法使用经典的光滑紧合基变换, 而需要使用邻近圈 (nearby cycle) 的版本. 此时迹公式中几何 Frobenius 并不是在常值层的茎上作用 (此时 $\mathrm{tr}=1$, 是直接计数), 而是在邻近圈的茎上作用. 且邻近圈上的迹不容易计算, 实际是使用 “半单迹”, 需要对特殊纤维的几何有细致的分析.
•	此时获得的迹公式是在 ${\mathcal{M}}_{\Gamma (p^r),m^{\prime }}({\mathbb{F}}_{p^t})$ 上求和, 但 Drinfeld 级结构不太容易计数, 于是我们需要通过 ${\mathcal{M}}_{\Gamma (p^r),m^{\prime }}\to {\mathcal{M}}_{m^{\prime }}$ 将邻近圈推到 ${\mathcal{M}}_{m^{\prime }}$ 上, 转化为在 ${\mathcal{M}}_{m^{\prime }}({\mathbb{F}}_{p^t})$ 上求和, 此时邻近圈变得复杂一些, 需要使用表示论的计算 (${\mathcal{M}}_{\Gamma (p^r),m^{\prime }}\to {\mathcal{M}}_{m^{\prime }}$ 是一个 Galois 群为 ${\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})的有限平展覆盖$) 将其和先前的计算联系起来.

在计数和与 Arthur-Selberg 迹公式比较时也会出现一些难点:

•	将计数问题的结果化为轨道积分不是很平凡. 在好约化情形, 可以将 ${\mathcal{M}}_m({\mathbb{F}}_{p^t})$ 里的点先按照模诠释中的椭圆曲线的同源类归类, 在每个同源类上使用 Tate 同源定理可以将其化为一些格 (来自平展上同调/Tate 模和晶体上同调/Dieudonne 模) 的计数, 将其转化为轨道积分, 然后再使用 Honda-Tate 理论计数同源类. 在坏约化情形, 就需要使用表示论工具, 将涉及到的 Frobenius 迹表示为 (扭) 轨道积分 (选择测试函数时需要利用局部 Langlands 对应和基变换基本引理等), 然后再使用类似好约化情形中的操作.
•	计数问题获得的轨道积分在 $p$ 处并不是通常的轨道积分, 而是 " 扭轨道积分 ", 其来自于在 $p$ 处使用晶体上同调时带来的 Frobenius 扭. 于是需要使用一种 " 基变换基本引理 " 将其转化为正常的轨道积分, 这样才得以和 Arthur-Selberg 迹公式进行比较.

在上述简介中可以看到, 为了将几何侧的计数问题转化为轨道积分, 并使之变为可与自守表示侧的迹公式比较的形式, 需要大量使用类似 “基本引理” 的表示论工具. 在这个情形使用的是基变换基本引理, 在别的群中还会有内窥现象, 此时就要使用内窥基本引理, 类似的 Langlands-Kottwitz 方法实施起来就会更加困难 (在一般的志村簇上, 最初的整模型、计数等等也都是著名难题) .