用户: Lieriheart/minkowski格点定理

1定理与证明

定理 1.1. 设 $A$ 是一个在 euclidea 向量空间 $V$ 中的完备的格, $X$ 是 $Ｖ$ 中一个中心对称的凸集. 若 $vol(X)\ge 2^{n}vol(\Gamma )$ , 则 $X$ 中至少包含 $\Gamma$ 中的非 0 格点 $\gamma$

证明. 若有 ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ 使得$$(\frac{1}{2}X+{\gamma }_1)\cap (\frac{1}{2}X+{\gamma }_2)\ne \varnothing$$即为在集合 $X$ 中有两点 $x_1$, $x_2$, 使得$$\frac{1}{2}{x}_1+{\gamma }_1=\frac{1}{2}{x}_2+{\gamma }_2$$即有$$\gamma ={\gamma }_1-{\gamma }_2=\frac{1}{2}(x_1-x_2)$$. 注意到 X 是一个中心对称的凸集, 有 $\gamma \in X\cap \Gamma$.
若对任何的 $\gamma \in \Gamma$,$\frac{1}{2}X+\gamma$ 都不交, 则对于格 $\Gamma$ 的基本区域 $\Phi$ 有$$vol(\Phi )\ge \sum _{\gamma \in \Gamma }vol(\Phi \cap (\frac{1}{2}X+\gamma )),$$即为$$vol(\Phi )\ge \sum _{\gamma \in \Gamma }vol((\Phi -\gamma )\cap \frac{1}{2}X)=vol(\frac{1}{2}X)=\frac{1}{2^n}vol(X)$$矛盾.

$\square$