用户: Lieriheart/算术动力系统与相交问题/格映射

映射 $f:{\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^1$, 即格映射, 它启发了算术动力系统的许多发展, 建立在椭圆曲线研究和一维动力学之间的类比之上. 这样一个映射 $f$ 是由椭圆曲线的一个自同态 $\phi :E\to E$ 的商构成的. 我们首先介绍这些例子, 并呈现一些来自一维复动力学的基本概念. 有用的参考资料包括 [Mi2, Si1, Mi1, FS].

1格映射

取任一 $\mathbb{C}$ 上的椭圆曲线 $E$. 将点 $P$ 与其加法逆元 $-P$ 进行等同定义一个度为 2 的投影 $\pi :E\to {\mathbb{P}}^1$. 如果将 $E$ 表示为格 $L$ 的商 $\mathbb{C}/L$, 则 $E$ 的 Weierstrass $\wp$-函数可以被视为商映射 $\mathbb{C}\to \mathbb{C}/L$ 和投影 $\pi$ 的复合.

取 $\phi \in End(E)$ 是 $E$ 的一个自同态. 例如, 我们可以取$$\phi (P)=P+P=2P$$由于 $\phi (-P)=-\phi (P)$, 映射 $\phi$ 通过 $\pi$ 下降, 定义了 ${\mathbb{P}}^1$ 上的一个自同态 $f_{\phi }$, 使得以下图表交换:

作为一个单变量的有理函数, $f_{\phi }$ 的次数与 $\phi$ 的次数相同, 对于我的例子 $\phi (P)=2P$, $\phi$ 的次数为 4.

请注意, 对于 $E$ 上的点 $P$, 当且仅当其在 $\phi$ 的迭代下具有有限轨道时, 它是 $E$ 上的挠点. 也就是说, 点序列$$P,2P,4P,8P,\dots$$必须是有限的. 并且, 投影 $\pi (P)$ 对于 $f_{\phi }$ 是预周期的, 当且仅当 $P$ 是 $E$ 上的挠点. 这使我们可以利用动力系统 - 以及开发用于研究在 ${\mathbb{P}}^1(\mathbb{C})$ 上的全纯映射迭代的机器的全部能力 - 来研究椭圆曲线上挠点的算术或者几何的性质.

定义 1.1. 如果一个自同态 $f$ 是通过文前交换图的中的有限度商 $\pi$ (不一定是二次的) 从任何映射 $\phi :E\to E$ 得到的商, 则称其为格映射.

格映射的动力系统特征的分类和总结见 [Mi2].

例 1.2.

考虑椭圆曲线的 legendre 形式, $$E_t=\left\{y^2=x(x-1)(x-t)\right\}\subset {\mathbb{P}}^2(\mathbb{C})$$对于 $t\in \mathbb{C}\backslash \{0,1\}$, 其中投影 $\pi :E\to {\mathbb{P}}^1$ 给出 $\pi (x,y)=x$. 在 $E$ 上取自同态 $\phi (P)=2P$. $\phi$ 对 $x$ 坐标的作用诱导了一个关于参数 $t$ 的有理函数 $f_t$, 其公式为

$$f_t(x)=\frac{{\left(x^2-t\right)}^2}{4x(x-1)(x-t)}$$

这个公式的推导可以在 [Si2, III] 中找到.

2高维格映射

对于更高维度的阿贝尔簇的一般自同构, 相同的基本商构造并不适用, 至少在我们希望在 ${\mathbb{P}}^N$ 上诱导一个态射的情况下是这样. 在 $(1.1)$ 中出现的 $N=2$ 维 Lattès 映射的分类——用定义在 $\mathbb{C}$ 上的阿贝尔曲面 $A$ 替换 $E$, 用 ${\mathbb{P}}^2$ 替换 ${\mathbb{P}}^1$——见 $[\mathrm{Dup}]$ 的第 5 节, 并参考其中给出的文献. 对于给定的阿贝尔曲面 $A$, 有限自同构群 $G$ 的商 $A/G$ 同构于 ${\mathbb{P}}^2$ 是非常罕见的. 你会注意到 [Dup, §5.1] 中出现的表格中的每个 $A$ 实际上都是椭圆曲线的平方 $E\times E$! 然后从积自同构构建映射. Dupont 在他的注释 5.1 中观察到, 在每个度 $d>1$ 和每个维数 $N$ 中都存在例子. 我不知道在维数 $>2$ 的情况下是否有已知的分类.

另一方面, 尽管商构造并不总是有效, 但我们通常可以将自同构 $\phi :A\to A$ 扩展到任意选定的 $A$ 的大射影空间. 如果 $X$ 是一个定义在 $\mathbb{C}$ 上的射影多样性, 那么一个态射 $f:X\to X$ 被称为可极化的, 如果存在一个 $X$ 上的丰富线束 $L$ 使得 $f^{\ast }L\simeq L^d$ 对于某个整数 $d>1$. 如果可极化, 那么存在一个嵌入 $X\hookrightarrow {\mathbb{P}}^N$, 使得 $f$ 扩展到 ${\mathbb{P}}^N$ 的所有态射 $[\mathrm{Fa}$, 推论 2.2]. 特别地, 从任意阿贝尔多样性 $A$ 上的乘法自同构 $\phi :A\to A$ 开始, Fakhruddin 在 [Fa, 推论 2.4] 的证明中描述了 $\phi$ 的扩展. 请注意, $A$ 上的挠点正好是在 $\phi$ 下具有有限正向轨道的 $A$ 中的点.

正如 Fakhruddin 在 [Fa] 中指出的, 关于阿贝尔多样性的各种问题和猜想因此可以用动力学术语重新表述. 例如, 关于阿贝尔多样性上挠点的一致有界性问题成为了 ${\mathbb{P}}^N$ 上自同构的 Morton-Silverman 一致有界性猜想的一个特例 $[\mathrm{MS}]$; 另请参见 $[\mathrm{Si}1]$.

3Julia 集和典范测度

定义 3.1. 假设 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 是一个大于 1 的 $d$ 次多项式. 其满 Julia 集为$$K(f)=\left\{z\in \mathbb{C}:\underset{n}{\sup }\left|f^n(z)\right|<\infty \right\}$$

定义 3.2. $f$ 的 Julia 集 $J(f)$ 为 $\partial K（f）$

对于格映射, 很容易看出 Julia 集必须是所有的 ${\mathbb{P}}^1(\mathbb{C})$. 椭圆曲线 $E$ 上对于自同构是周期性的挠点在 $E(\mathbb{C})$ 中是稠密的. 因为原始的自同构 $\phi$ 在任何地方都是扩张的, 所以所有周期点都是分歧的.

对于多项式映射 $f$, 朱利亚集可能是 $\mathbb{C}$ 的一个复杂的分形子集, 但可以通过逃逸时间算法在 $\mathbb{C}$ 上画出这个集合. 也就是说, 我们迭代某个精细网格中的所有点 $z$, 并根据需要多少次迭代, 直到 $\left|f^n(z)\right|$ 变大 (其中 " 大 " 取决于 $f$ 的系数) . 如果对于所有测试的迭代, $\left|f^n(z)\right|$ 保持 “小”, 我们可以将像素涂成黑色.

4典范高度

让我们以 Call 和 Silverman 在 ${\mathbb{P}}^N[\mathrm{CS}]$ 的自同构定义了规范高度来结束本节. 为简便起见, 我们回到维数 $N=1$. 假设定义在数域上的 $f:{\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^1$ 的次数为 $d>1$, 设 $h$ 表示 ${\mathbb{P}}^1(\overline{\mathbb{Q}})$ 上的朴素对数 Weil 高度. 与 $f$ 相关的规范高度函数定义为$${\hat{h}}_f(\alpha )=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{d^n}h\left(f^n(\alpha )\right)$$存在唯一的函数 ${\hat{h}}_f$ 满足: $$\frac{1}{d}{\hat{h}}_f\circ f={\hat{h}}_f$$并且存在一个常数 $C=C(f)$, 使得对于 ${\mathbb{P}}^1(\overline{\mathbb{Q}})上的所有点，我们有$$\left|{\hat{h}}_f-h\right|\le C$$[\mathrm{CS}$, 定理 1.1].

$\hat{h}f$ 的局部高度分解可以用函数 $Gf$ (1.3) 表示, 用适当定义的 $p$-进范数替换 $|\cdot |$, 作用于仿射空间 ${\mathbb{A}}^2(\overline{\mathbb{Q}})$; 详细内容可以在 $[\mathrm{BR},\mathrm{Si}1]$ 中找到.

注意, 在格映射 $f$ 的情况下, 其中投影 $\pi$ (1.1) 的次数为 2, 我们对所有 $P\in E(\overline{\mathbb{Q}})$ 有$${\hat{h}}_f(\pi (P))=2{\hat{h}}_E(P)$$其中 ${\hat{h}}_E$ 是椭圆曲线 E 上的 Néron-Tate 典范高度. 详见 $[$ Si1]