用户: Lieriheart/算术动力系统与相交问题/多势理论

1什么是流动形

什么是流动形? 可以在 [DS] (无证明) 或 Dem 的第一章中找到基本概念的总结.

设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^N$ 的一个开子集. 对于整数 $p$ 满足 $0\le p\le N$, $p$-流动形 (或称为度数为 $p$ 的流动形) 是 $\Omega$ 上关于空间 ${\mathcal{D}}^{N-p}(\Omega )$ 的连续线性泛函, 空间 ${\mathcal{D}}^{N-p}(\Omega )$ 是具有紧支集的 $\Omega$ 上的光滑 $(N-p)$-形式. 该微分形式空间上的 $C^{\infty }$ 拓扑得到这个空间的连续性. 如果流动形定义了具有 $C^0$-拓扑的有界线性泛函, 那么它将扩展到具有连续系数的紧支持形式的空间, 并且我们称该流动形为 0 阶. 因此, 在 $\Omega$ 上的测度 $\mu$ 与在 $\Omega$ 上具有 0 阶的 $N$-电流等价.

例 1.1. 在 $\Omega$ 上的光滑 $p$-形式 $\omega$ 定义了一个 $p$-流动形$$⟨\omega ,\alpha ⟩:={\int }_{\Omega }\omega \wedge \alpha ，\alpha \in {\mathcal{D}}^{N-p}(\Omega )$$

例 1.2. 一个定向的, 封闭的, $C^{\infty }$ 子流形 $Y$ 在 $\Omega$ 中的 $p$ 阶维度定义了一个 $p$-流动形, 如下$$⟨[Y],\alpha ⟩:={\int }_Y\alpha ，\alpha \in {\mathcal{D}}^{N-p}(\Omega )$$

外导数 $d$ 通过与微分形式形式上的对偶作用在 $p$-流动形 $T$ 上: $$⟨dT,\alpha ⟩:=(-1{)}^{p+1}⟨T,d\alpha ⟩，alpha\in {\mathcal{D}}^{N-p-1}(\Omega )$$

使得 $dT$ 成为一个 $(p+1)$-流动形. 与微分形式一样, 当 $dT=0$ 时, 流动形 $T$ 闭合. 一个 $p$-流动形可以通过一个光滑的映射 $F:\Omega \to V$ 自然地推出, 若 $V$ 中的任何紧集的原像 $F^{-1}(K)$ 在 $\Omega$ 中是紧的, 则该流动形紧合. 注意到$$⟨F_{\ast }T,\alpha ⟩:=⟨T,F^{\ast }\alpha ⟩，\alpha \in {\mathcal{D}}^{\dim V-(N-p)}(V)$$

所以 $F_{\ast }T$ 是 $V$ 上 $(p-N+\dim V)$-流动形. 关于流动形的拉回操作更为微妙, 但是如果映射 $F:\Omega \to V$ 是浸没, 那么通过在 $F$ 的纤维上积分来推出. 如果 $T$ 是一个 $p$-流动形在 $V$ 上, 那么我们可以由 $⟨F^{\ast }T,\alpha ⟩:=⟨T,F_{\ast }\alpha ⟩$ 定义 $F^{\ast }T$ 为 $\Omega$ 上的 $p$-流动形.

这就是第一讲中 (1.4) 提到的 ${\pi }^{\ast }$ 的作用.

在复流形或复代数簇中, 如果光滑形式 $\alpha$ 可以用局部坐标表示为$$\alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}{\alpha }_{I,J}d{z}^I\wedge d{\bar{z}}^J$$其中, $d{z}^I=d{z}_{i_1}\wedge \cdots \wedge d{z}_{i_p}$ , $d{\bar{z}}^J=d\bar{z}j1\wedge \cdots \wedge d\bar{z}jq$, 有 $dz=dx+idy$ 和 $d\bar{z}=dx-idy$. 注意, 在 ${\mathbb{R}}^2=\mathbb{C}$ 中, $idz\wedge d\bar{z}=2dx\wedge dy$.

在复流形 $X$ (维数为 $N$) 上的一个 $(p,q)$-流动形是空间 ${\mathcal{D}}^{(N-p,N-q)}(X)$ 上的连续线性泛函, 空间 ${\mathcal{D}}^{(N-p,N-q)}(X)$ 是具有紧支集的光滑 $(N-p,N-q)$-形式. 回忆一下, 在局部坐标上 $d$ 算子可以分解为

$$d=\partial +\bar{\partial }=\sum _j\frac{\partial }{\partial z_j}d{z}_j+\sum _k\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_j}d{\bar{z}}_k$$类似的, 我们有$$d^c=\frac{1}{2\pi i}(\partial -\bar{\partial })$$

2正 (1, 1) 流动形

在 [Dem] 的第三章中引入了正性. 在复流形 $X$ 上, 维数为 $N$ 的 $(p,p)$-流动形 $T$ 如果对于所有正测试形式 $\alpha =\left(i{\alpha }_1\wedge {\bar{\alpha }}_1\right)\wedge \cdots \wedge \left(i{\alpha }_{N-p}\wedge {\bar{\alpha }}_{N-p}\right)，{\alpha }_i\in {\mathcal{D}}^{(1,0)}(X)$ 有 $⟨T,\alpha ⟩\ge 0$, 则称该流动形为正. 正性意味着流动形具有 0 阶 [Dem, 命题 $1.14]$

例 2.1. 假设 $\Omega$ 是一个位于 ${\mathbb{C}}^N$ 中的域. 一个上半连续 (usc) 函数 $u:\Omega \to \mathbb{R}\cup -\infty$ 在每个复线丛 $L$ 上, $u\mid (L\cap \Omega )$ 是亚调和的, 则该函数是多亚调和的. 回顾一下, 在 $\mathbb{C}$ 上一次函数 $u$ 是 usc, 不等于 $-\infty$, 并且对所有在 $u$ 的定义域中的闭球 $\overline{B\left(x_0,r\right)}$, 有

$$u\left(x_0\right)\le \frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }u\left(x_0+r{e}^{i\theta }\right)d\theta$$(这就意味着 $u\in L_{loc}^1$. ) 等价地说, 如果假设 $u\in L_{loc}^1$ 并且在一个域 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 上是 usc 的, 那么 $u$ 是亚调和的, 如果它的 Laplacian $\Delta u$ - 在分布意义上定义 - 是一个正测度. 注意, 在维数为 1 的情况下, 我们有$$\frac{1}{2\pi }\Delta udx\wedge dy=\frac{i}{\pi }\partial \bar{\partial }u=d{d}^{c}u.$$特别地, 对于任何多亚调和函数 $u$ 在 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^N$,

$$T=d{d}^{c}u$$是一个封闭且正的 $(1,1)$-流动形. 一个 Poincaré 类型引理关于 $d{d}^c$ 意味着反之亦然: 复流形 $X$ 上的封闭、正的 $(1,1)$-流动形 $T$ 可以局部表示为 $T=d{d}^{c}u$, 其中 $u:\Omega \to \mathbb{R}\cup -\infty$ 是一个多亚调和函数, 其中 $\Omega$ 是一个开邻域, 在 $X$ 中与一个 ${\mathbb{C}}^N$ 域相对应. 函数 $u$ 被称为 $T$ 的局部势函数.

作为一个特殊情况, 考虑在 $\mathbb{C}$ 中的 $u(z)=\log |z|$. 那么$$d{d}^{c}u={\delta }_0$$在分布意义上. 换句话说, $$\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{C}}u\Delta \phi dx\wedge dy=\phi (0)$$对于所有具有紧支持的光滑函数 $\phi :\mathbb{C}\to \mathbb{R}$. 在更高维度中, 如果 $f:\Omega \to \mathbb{C}$ 是全纯的, 那么 $u(z)=\log |f(z)|$ 是多亚调和的, 而 $d{d}^{c}u$ 是沿着解析超曲面 $f(z)=0$ 的积分流动形.

3流动形的相交与 Monge-Amp‘ere 几何

我们希望有一个良好的关于相交流动形的理论, 以扩展示例 2.1 和 2.2 中的概念: 给定两个光滑形式 ${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$, 我们有一个光滑形式 ${\omega }_1\wedge {\omega }_2$, 并且给定一个复流形 $X$ 中的两个光滑子品种 $Z_1$ 和 $Z_2$, 我们可以考虑它们的交集 $Z_1\cap Z_2$ (以某种适当的意义) . 在具有局部有界势的正 $(1,1)$-流动形的情况下, 这是可以做到的. 设 $\Omega$ 是 ${\mathbb{C}}^N$ 的一个开子集. 如果 $T$ 是一个封闭且正的 $(p,p)$-流动形, 而且如果 $u:\Omega \to \mathbb{R}$ 是一个有界的多亚调和函数, 那么我们可以设置$$d{d}^{c}u\wedge T:=d{d}^c(uT)$$

其中右侧是在分布意义上定义的. 通过连续性论证, [BT] 中证明了这是 “正确” 的定义, 因为它扩展了光滑形式的概念. 楔积再次是一个封闭且正的双度数为 $(p+1,p+1)$ 的流动形.

通过归纳法, 我们可以定义 (复) Monge-Ampère 测度$${\left(d{d}^{c}u\right)}^N=d{d}^{c}u\wedge \cdots \wedge d{d}^{c}u$$在一个复流形 $X$ 上的维数为 $N$ 的局部有界多亚调和函数 $u$. 如 [Dem, Chapter III, §3] 所指出的, 如果 $u$ 是光滑的, 那么这只是

$${\left(d{d}^{c}u\right)}^N=\det \left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z_j\partial {\bar{z}}_k}\right)\frac{N!}{{\pi }^N}\left(id{z}_1\wedge d{\bar{z}}_1\right)\wedge \cdots \wedge \left(id{z}_N\wedge d{\bar{z}}_N\right).$$

满足 ${\left(d{d}^{c}u\right)}^N=0$ 的多亚调和函数 $u$ 被称为最大多亚调和函数; 详见 $[\mathrm{Kl}]$ 对这些函数的广泛处理.

4动力系统

回到 $\mathbb{C}$ 上的映射 $f:{\mathbb{P}}^N\to {\mathbb{P}}^N$ 的设置, 我们现在有了描述 $\S 1.3$ 中引入的概念的语言. 函数 $G_f$ 在 ${\mathbb{C}}^{N+1}$ 上是多亚调和且连续的 (作为远离 0 的多亚调和函数的局部一致极限) . 注意, 对于所有 $\beta \in {\mathbb{C}}^{\ast }$, 我们有 $G_f(\beta z)=G_f(z)+\log |\beta |$; 我们说 $G_f$ 是对数同质的.

在 ${\mathbb{P}}^N$ 上的正 $(1,1)$-流动形 (质量为 1) 与对数同质多亚调和函数在 ${\mathbb{C}}^{N+1}$ 上有天然的一一对应关系, 直到添加一个常数. 也就是说, 给定任何对数同质多亚调和函数 $u$ 在 ${\mathbb{C}}^{N+1}$ 上, 我们可以通过 $T_u=d{d}^c(u\circ s)$ 为任何全纯截面 $s$ 定义局部图表 $U\subset {\mathbb{P}}^N$ 上的流动形, 其中 $s$ 是投影 $\pi :{\mathbb{C}}^{N+1}\backslash 0\to {\mathbb{P}}^N$ 在 $U$ 上的投影. 这些定义通过 $u$ 的对数同质性拼接在一起, 因为对于任何非消失的全纯函数 $\psi$, $\log |\psi |$ 是谐波的. 然后可以检查 $d{d}^{c}u={\pi }^{}{T}_u$. 反之, 参见 [FS, Theorem 5.9]. 因此, 通过设置 ${\pi }^{}{T}_f=d{d}^c{G}_f$, 动力学绿色流动形 $T_f$ 是很好定义的. 此外, 它是 ${\mathbb{P}}^N(\mathbb{C})$ 上唯一的正 $(1,1)$-流动形 (总质量为 1) , 使得$$\frac{1}{d}{f}^{\ast }{T}_f=T_f$$注意: $f$ 不是浸没, 所以这个拉回首先定义在 $f:{\mathbb{P}}^N\backslash f^{-1}(f(C))\to$ ${\mathbb{P}}^N\backslash f(C)$ 上, 其中 $C$ 是 $f$ 的临界轨迹, 然后扩展到所有的 ${\mathbb{P}}^N$; 见 $[\mathrm{FS}]$ 第 159 页.