用户: Lieriheart/算术动力系统与相交问题/动力系统的稳定性

我们引入了映射族的动力学概念结构稳定性. 我们在 Lattès 家族和其他重要示例在 ${\mathbb{P}}^1$ 的背景下说明了这个概念, 并将稳定性与某些 (几何) 高度函数的值联系起来. 我们用几句话总结了关于 $N>1$ 时 ${\mathbb{P}}^N$ 上全纯映射族的稳定性理论. 有用的参考文献包括 [De3] [Mc2, Chapter 4] [BB].

1结构稳定和 J-稳定

假设我们有一个连续变化的映射族 $f_t:X_t\to X_t$, 在紧致度量空间中, $t$ 在参数空间 $S$ 中 (例如, 在家族上具有一致收敛的拓扑结构) . 如果存在一个连续的家族 ${\phi }_t:X_{t_0}\to X_t$ 的同胚, 使得对于所有接近 $t_0$ 的 $t$, 都有 $f_t={\phi }_t\circ f_{t_0}\circ {\phi }_t^{-1}$, 我们说这个家族在 $t_0\in S$ 处结构稳定. 也就是说, 所有的映射——在连续坐标变换下——定义了 “相同” 的动力系统.

一个全纯映射族$$f_t:{\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^1$$对于复流形 $S$ 中的 $t$, 是一个全纯映射 $f:S\times {\mathbb{P}}^1\to S\times {\mathbb{P}}^1$, 它保留了到 $S$ 的投影的纤维. (这个定义意味着 $f_t$ 家族在一致收敛拓扑中是连续的, 所以特别地, 它们都具有相同的度, 而且 $f_t$ 的系数是 $t$ 的全纯函数. ) 假设 $f_t$ 的度大于 1. 如果 $f_t$ 的每个周期点都可以在 $t_0$ 附近的一个邻域内全纯地参数化而没有碰撞, 我们将说家族 $f_t$ 在 $t_0\in S$ 处是周期点稳定的. 也就是说, 这些无穷多的周期点的图像像 $S\times {\mathbb{P}}^1$ 中的叶片一样契合在一起. 注意: 根据隐函数定理, 对于周期为 $n$ 的每个单独的周期点 $z_0$, 要解方程 $f_t^n(z)=z$, 对于 $z=z(t)$, 有 $z\left(t_0\right)=z_0$, 我们需要 ${\left(f^n\right)}^{\prime }\left(z_0\right)\ne 1$. 稳定性条件要求这可以在所有周期点的邻域内均匀完成, 并且没有碰撞. 定理 3.1. [MSS, Ly2] 当且仅当度大于 1 的全纯映射族 $f_t$ 在 $t_0\in S$ 附近的 Julia 集 $J\left(f_t\right)$ 上结构稳定时, $f_t$ 在 $t_0\in S$ 处是周期点稳定的. 而且, 这些条件在 $S$ 的一个开放和稠密子集上成立

如果家族 $f_t$ 在 $t_0$ 处满足这些稳定性条件, 我们将说 $f_{t_0}$ 是 $J$ 稳定的. 有关该定理证明的阐述, 以及 $J$-稳定性的其他特征, 请参见 [Mc2, Chapter 4].

实际上, 周期点稳定性和 $J(f)$ 上的结构稳定性这两个条件都不容易检查. 我们经常使用第三个等价的稳定性概念, 即临界点稳定性. 在 $t_0$ 附近的一个邻域中, 我们可以通过一个 (有限, 分支) 覆盖, 在 $t_0$ 附近全纯地参数化 $f_t$ 的临界点, 即 $c_1(t),\dots ,c_{2d-2}(t)$. 然后临界点稳定性意味着对于每个 $i$, 函数序列 \left{t \mapsto f_{t}^{n}\left(c_{i}(t)\right)\right} 在 $t_0$ 的邻域中形成正规族. 也就是说, 在 $t_0$ 的邻域的紧子集上, 每个迭代序列都有一个子序列一致收敛.

作为 Montel 定理关于正规族的一个简单应用, 对于 $t\in S=\mathbb{C}$, 家族 $z^2+t$ 对于 $t_0\notin \partial \mathcal{M}$ 是 $J_{\text{-stable}}$ 的, 其中$$\mathcal{M}=\left\{t\in \mathbb{C}:\underset{n}{\sup }\left|f_t^n(0)\right|<\infty \right\}$$是著名的 Mandelbrot 集, 而 $\partial \mathcal{M}$ 是其拓扑边界. 请注意, $J$-稳定性并不意味着 $f_t$ 在整个 ${\mathbb{P}}^1$ 上都结构稳定. 一个简单的例子是在 $t_0=0$ 时的家族 $f_t(z)=z^2+t$. 映射 $f_0(z)=z^2$ 是周期点稳定的, 但它在整个 ${\mathbb{P}}^1$ 上并不结构稳定: 在 $t_0=0$ 时, 临界点 $c=0$ 是一个固定点, 而在 $t\ne 0$ 时, 它不是固定点. 临界轨道的结构必须在拓扑共轭下保持不变. 另一方面, 事实证明, 这个临界轨道要求是将共轭扩展到整个 ${\mathbb{P}}^1$ 的唯一障碍 [McS].

2格族稳定

现在假设 $f_t$ 是一族 Lattès 映射, 比如对于 $t\in S=\mathbb{C}\backslash 0,1$, 由 (1.2) 给出的那些映射. 正如我们已经观察到的, $f_t$ 的所有周期点都是排斥的. 它们可以在整个参数空间中随 $t$ 以全纯的方式跟踪 (尽管在 $S$ 的三个扎点周围移动时, 会有一些非平凡的单值性) . 将这些点在 $S\times {\mathbb{P}}^1$ 中的图形视为一个全纯叶片的可数、稠密子集. 这个叶片与椭圆曲面 $E$ 的贝蒂叶片的商重合. 关于贝蒂叶片的信息, 可以参考例如 [ACZ, CDMZ, UU1, UU2]. 在椭圆曲线族中 - 或在阿贝尔簇族中 - 人们可以将该族的每个元素与适当维数的给定实环面 ${\mathbb{T}}^m={\mathbb{R}}^m/{\mathbb{Z}}^m$ (拓扑同胚地) 识别. betti 叶片的定义是这个 “水平” 投影到 ${\mathbb{T}}^m$ 的纤维, 它们是全纯的.

3刚体和相交

事实证明, Lattès 映射是唯一可能在任何地方都稳定的族, 至少在处理代数族时是这样.

为简单起见, 我们假设在本小节中, $S$ 是一个关于 $\mathbb{C}$ 的光滑、不可约准射影曲线. 如果系数在 $S$ 的紧凑化 $\bar{S}$ 上定义亚纯函数, 我们将说 $f:S\times {\mathbb{P}}^1\to S\times {\mathbb{P}}^1$ 是 ${\mathbb{P}}^1$ 上的代数映射族. 等价地说, $f$ 是由函数域 $\mathbb{C}(\bar{S})$ 上的有理函数定义的, 我们假设在 $S\times {\mathbb{P}}^1$ 上的诱导映射是正则的.

定理 3.2. [Mc1] 假设 $f:S\times {\mathbb{P}}^1\to S\times {\mathbb{P}}^1$ 是一个度数 $d>1$ 的代数映射族. 那么当且仅当 $f$ 是等距离的或 Lattès 族时, $f$ 在整个 $S$ 上是 $J$-稳定的.

如果族 $f_t$ 的所有元素都由 Möbius 变换共轭, 则映射 $f$ 是等距离的.

McMullen 的定理分两步证明. 通过研究 $f$ 的临界点的轨道行为来分析稳定性, 他推导出 $S$ 上的稳定性意味着每个临界轨道对于族中的所有 $f_t$ 必须是有限的、持续的. 然后, 由 Thurston 的刚性定理 $[\mathrm{DH}]$ 推出非等距离的这样的 $f$ 是 Lattès 的.

McMullen 定理的临界轨道部分被扩展到处理单个临界点, 后来是任意点. 全纯映射 $a:S\to {\mathbb{P}}^1$ 定义了一个在 $S$ 上的标记点. 如果函数序列 \left{t \mapsto f_{t}^{n}(a(t))\right} 在 $t_0$ 的邻域内形成一个正规族, 则对 $(f,a)$ 在 $t_0\in S$ 处是稳定的.

定理 3.3. [De2, DF] 假设 $f:S\times {\mathbb{P}}^1\to S\times {\mathbb{P}}^1$ 是一个度数 $d>1$ 的代数映射族. 假设 a $\in {\mathbb{P}}^1(\mathbb{C}(\bar{S}))$ 定义了一个在 $S$ 上的标记点. 当且仅当 $(f,a)$ 在整个 $S$ 上是等距离的或持续预周期时, 对 $(f,a)$ 是稳定的. 如果族 $f_t$ 的所有元素通过 Möbius 变换共轭到单个映射 $f_0$, 并且在这个新的坐标系中点 $a$ 是常数, 则对 $(f,a)$ 是等距离的.

从定理 3.3 我们可以立即推出, 交点必须在 $S\times {\mathbb{P}}^1$ 中的代数曲线和 $f$ 在 $S\times {\mathbb{P}}^1$ 中的预周期曲线之间发生. 在 $S\times {\mathbb{P}}^1$ 中的曲线 $V$ 是预周期的, 如果存在 $n>m\ge 0$ 使得 $f^n(V)=f^m(V)$. 在 $S\times {\mathbb{P}}^1$ 中有无穷多的预周期曲线, 因为对于每个 $f_t$, 其中 $t\in S$, 都有无穷多的预周期点. 设 $\mathcal{V}(f)$ 表示 $S\times {\mathbb{P}}^1$ 中所有预周期曲线的并集.

推论 3.4. [De2, 定理 1.6] 设 $S$ 是一个关于 $\mathbb{C}$ 的光滑且不可约的准射影曲线. 假设 $f:S\times {\mathbb{P}}^1\to S\times {\mathbb{P}}^1$ 是一个度数 $d>1$ 的非等距离代数映射族, 并且假设 $C$ 是 $S\times {\mathbb{P}}^1$ 中的任意代数曲线. 那么在 $C$ 中的所有预周期点的集合, 即

是 $C$ 的无限子集. 证明. 我们可以假设 $C$ 是不可约的. 如果 $C$ 是垂直的, 即 $S\times {\mathbb{P}}^1\to S$ 的纤维, 那么结论是显而易见的, 因为每个 $f_t$ 都有无穷多的预周期点. 否则, 我们将定理 3.3 应用于对 $(f,a)$, 其中 $a\in {\mathbb{P}}^1(k)$ 对于 $\mathbb{C}(\bar{S})$ 的有限扩展 $k$, 在这里 $C$ 成为 a 的图像, 在 $S$ 的有限分支覆盖上. $f$ 的非等距离性意味着对 $(f,a)$ 将是持续预周期 (在这种情况下, $C$ 本身就是预周期曲线) 或者不稳定. 在后一种情况下, 我们应用 Montel 的正规族定理来推断 $C$ 的轨道必须与 $\mathcal{V}(f)$ 的元素相交; 参见例如 [De2, Proposition 5.1].

总之, 我们已经讨论了 Lattès 映射以及它们的稳定性. 当处理代数映射族时, Lattès 映射是唯一可能在任何地方都稳定的. 通过研究映射的临界点轨道行为和预周期性质, 我们能够更深入地理解它们的稳定性. 这些结果使我们能够了解代数曲线在预周期曲线上的交点性质, 为我们研究动力系统提供了有力的工具.

4格族相交

我们在一个众所周知的情境下应用推论 3.4: 假设 $f_t$ 是一个 Lattès 映射族, 例如在 (1.2) 中给出的, 由 $S=\mathbb{C}\backslash 0,1$ 参数化. 设 $C$ 是 $S\times {\mathbb{P}}^1$ 中的一个代数曲线. 那么 $C$ 要么本身就是一个预周期曲线, 要么必须与无穷多的预周期曲线相交. 特别地, 将这个 $C$ 提升到由 $S$ 上的家族 $E_t$ 定义的相应椭圆曲面, 这表明 Betti 叶片的唯一封闭 (即代数) 的叶片是挠点. 这是众所周知的, 并且有几种不同的证明.

5高维稳定理论

对于 ${\mathbb{P}}^N$ 上的全纯映射族, 也有一个 $J$-稳定性理论, 尽管对于多少在 ${\mathbb{P}}^1$ 中描述的等价关系可以推广到更高维度, 仍然有很多有趣的问题. 请参阅 $[\mathrm{BBD}]$ 和概述 $[\mathrm{BB}]$ 以获取定义和与一维情况的比较.