用户: Lieriheart/算术动力系统与相交问题/几何高度、分歧度量和算术分布

在数域上工作, 我们将动力学稳定性的概念扩展到了拟射影变种上的 Adelic 线束理论的一般框架中. 我们展示了 Yuan-Zhang 的近期工作成果 $[\mathrm{YZ},\S 6]$ 以及 Gauthier-Vigny 的成果 $[\mathrm{GV}]$.

1几何高度和极化自同态

几何高度和极化自同态. 我刚刚写到我们会在数域上工作, 但是让我先谈谈函数域的一些设定. 具体而言, 我们可以将上一讲中的概念与关于典型高度值的陈述联系起来.

更确切地说, 回顾一对 $(f,a)$, 由一个代数族 $f:S\times {\mathbb{P}}^1\to S\times {\mathbb{P}}^1$ 的度为 $d>1$ 的拟射影曲线 $S$ 上的 $\mathbb{C}$ 和一个标记点 $a:S\to {\mathbb{P}}^1$ 组成, 如果函数序列 \left{t \mapsto f_{t}^{n}(a(t))\right} 在整个 $S$ 上都是正常的, 那么它是稳定的. 事实证明, 当且仅当典型高度$${\hat{h}}_f(a)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{d^n}h\left(f^n(a)\right)$$等于 $0[D\mathrm{De}2$, 定理 1.1]. 这里的 $h$ 是在 ${\mathbb{P}}^1(k)$ 上的朴素对数 Weil 高度, 其中 $k=\mathbb{C}(S)$. 换句话说, 对于每个 $b\in {\mathbb{P}}^1(k)$, $h(b)=\mathrm{deg}\left(b:S\to {\mathbb{P}}^1\right)$. 这个等价性在 [De2] 中被用来给出 Baker 定理的另一种证明, 即假设族 $f$ 不是同构 - 点 $a\in {\mathbb{P}}^1(k)$ 的典型高度为 0 当且仅当它具有有限轨道 $[\mathrm{Ba}]$. Gauthier 和 Vigny 最近给出了 Baker 定理以及上面的定理 3.3 的新证明, 并将结果扩展到了一个更一般的背景. (参见 [CH1] 中的模型论方法. )

定理 4.1. [GV, 定理 A] 假设 $S$ 是一个光滑且不可约的拟射影多样性, $\pi :\mathcal{X}\to S$ 是一族投射多样性 $X_t$ 的家族, 其中 $t\in S(\mathbb{C})$, 并且$$f:\mathcal{X}\to \mathcal{X}$$是一个极化自同态的代数族. 那么当且仅当 ${\hat{h}}_f(a)=0$ 时, $\pi$ 的一个截面 a : $S\to \mathcal{X}$ 是稳定的, 当且仅当 a 是预周期的或者位于 $f$ 在 $\mathcal{X}$ 中的 “同构部分”.

这里有很多需要定义的东西. 回顾一下, 在 $\S 1.2$ 中引入了可极化的自同态 $f:X\to X$, 这是一个在 $\mathbb{C}$ 上的射影多样性; 这意味着存在一个充足的线束 $L$, 使得 $f^{\ast }L\simeq L^d$ 对于某个 $d>1$ 成立. 在这里我们使用一个在 $k=\mathbb{C}(S)$ 上定义的自同态 $f:X\to X$, 并且用 $\pi :\mathcal{X}\to S$ 作为一个在 $\mathbb{C}$ 上的模型, 我们假设存在一个在 $\mathcal{X}$ 上相对充足的线束 $\mathcal{L}$, 为每个 $t\in S(\mathbb{C})$ 上的 $X_t={\pi }^{-1}(t)$ 提供极化. 对于 $(f,a)$ 这对的稳定性可以用正常族来定义, 就像在 ${\mathbb{P}}^1$ 上的映射一样. 同构部分是按照预期定义的, 尽管我会避免技术细节: 存在一个 $f$-不变子多样性在 $S$ 上, 沿着这个子多样性限制的家族是同构的. 典型高度 ${\hat{h}}_f$ 在 $X(k)$ 上定义, 从在 $k=\mathbb{C}(S)$ 上选择 Weil 高度 $h$ 开始.

注意, 定理 4.1 包括了在一族阿贝尔多样性 $\mathcal{A}$ 上的极化自同态的情况, 例如取每个纤维 $A_t$ 上的乘以 2 的操作, 其中 ${\hat{h}}_A$ 是 Néron-Tate 典型高度. 因此, 这个定理将已知的阿贝尔多样性设置中的结果 $[\mathrm{LN}]$ 扩展到了极化自同态的更一般设置.

2分支电流

理 4.1 (以及定理 3.3) 的证明涉及对参数空间 $S$ 上的某些正闭电流的研究.

假设 $Z\subset X$ 是一个在 $k=\mathbb{C}(S)$ 上定义的维数为 $\ell$ 的子多样性, 并假设 $\mathcal{Z}$ 是模型 $\mathcal{X}$ 上的一个子多样性 (扁平) 族. 按照 $[\mathrm{GV}]$, 我们可以定义$${\hat{T}}_{f,Z}:={\pi }_{\ast }\left({\left({\hat{T}}_f\right)}^{\wedge (\ell +1)}\wedge [\mathcal{Z}]\right)$$其中 $\pi :\mathcal{X}\to S$ 是投影; 它是一个具有连续势能的 $S$ 上的正 $(1,1)$-电流. 电流 $\hat{T}f$ 是一个在 $\mathcal{X}$ 上定义的正 $(1,1)$-电流, 类似于 $\S 2.4$ 中的动力学 Green 电流. 具体地说, 我们选择一个在 $\mathcal{X}$ 上的光滑 $(1,1)$-形式 $\omega$, 它表示每个纤维 $Xt$ 上的极化 $L_t$ 的类 $c_1\left(L_t\right)$. 我们有$${\hat{T}}_f=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{d^n}{\left(f^n\right)}^{\ast }\omega$$其中 $d$ 是极化度数. 当 $Z=a$ 是一个单点时, 不难看出 $\hat{T}f,a=0$ 当且仅当 $(f,a)$ 在 $S$ 上是稳定的. 更一般地, 我们可以说, 如果 $\hat{T}f,Z=0$, 则对 $(f,Z)$ 在 $S$ 上是稳定的. (请注意, 稳定性定义对于任何复流形 $S$ 都有意义, 而定理 4.1 中的典型高度是一个 “全局” 的概念. )

电流 ${\hat{T}}_{f,Z}$ 将 [De1] 中引入的分支电流概念扩展到第 3 讲中定义的 $J$-稳定性研究. 更确切地说, 我们考虑一个全纯族 $f:S\times {\mathbb{P}}^1\to S\times {\mathbb{P}}^1$, 其临界点集为 $\mathrm{Crit}(f)\subset S\times {\mathbb{P}}^1$, 我们设$${\hat{T}}_{f,\text{ bif }}:={\pi }_{\ast }\left({\hat{T}}_f\wedge [\mathrm{Crit}(f)]\right)$$其中 $\pi :S\times {\mathbb{P}}^1\to S$ 是投影. 那么对于 $t\in S$, 当且仅当电流 $\hat{T}f,\text{ bif }$ 在 $t0$ 的邻域内消失时, 族 $f_t$ 在 $t_0$ 是 $J$-稳定的 $[\mathrm{De}1$, 定理 1.1].

为了证明定理 4.1, Gauther 和 Vigny 证明了 $Z\subset X$ (维数为 $\ell$, 在函数域 $k=\mathbb{C}(S)$ 上定义) 的几何典型高度由以下公式给出$${\hat{h}}_f(Z)={\int }_{\mathcal{X}}{\left({\hat{T}}_f\right)}^{\wedge (\ell +1)}\wedge [\mathcal{Z}]\wedge {\left({\omega }_S\right)}^{\dim S-1}$$其中 $\mathcal{Z}$ 是在 $S$ 上的 $\mathcal{X}$ 对应的多样性, ${\omega }_S$ 是拉回到 $\mathcal{X}$ 的 $S$ 上的某个 Kähler 形式. 在 $\mathcal{X}$ 是椭圆曲面的情况下, 已知这个积分公式 [CDMZ], 并且在 [CGHX] 中也出现了一个版本, 用于研究交换多样性族.

Gauthier 和 Vigny 还描述了保证电流 $\hat{T}f,Z$ (以及 $\hat{h}f(Z)$) 及其更高楔积正性的映射 $f$ 的动力学条件 [GV, 引理 4.8]. 他们的不稳定性准则起源于证明电流 $(4.2)$ 的幂次 ${\hat{T}}_{f,\text{ bif }}$ 是正的证明 $[\mathrm{BB},?]$, 以及更高维映射族的一般稳定性理论 $[\mathrm{BBD}]$.

3算术等分布

基于一系列研究投影多样性上小高度点的几何的工作, 从 Szpiro-Ullmo-Zhang 的交换多样性研究开始 [SUZ], 并将 Kühne [Kü1] 和 Gauthier [Ga] 最近的等分布结果进行推广, Yuan 和 Zhang 最近证明了:

定理 4.2. [YZ, 定理 5.4.3] 假设 $X$ 是一个数域 $K$ 上的拟射影多样性. 设 $\bar{L}$ 是 $X$ 上的一个 nef adelic 线束, 使得 $\mathrm{deg}\tilde{L}(X/K)$ 是正的. 假设 \left{x{m}\right} \subset X(\bar{K}) 是一个满足

$$h_{\bar{L}}\left(x_m\right)\to h_{\bar{L}}(X)$$的普通序列.

那么对于 $K$ 的每个赋值 $v$, 当 $m\to \infty$ 时, Galois 轨道 $\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)\cdot x_m$ 在 Berkovich 解析化 $X_v^{an}$ 中相对于度量 ${\mu }_{\bar{L},v}$ 是等分布的. 在不涉及所有细节和定义的情况下, 需要注意的是

$${\mathrm{deg}}_{\tilde{L}}(X/K)={\int }_{X_v^{an}}{c}_1(\bar{L}{)}_v^{\wedge n}$$在任何一个赋值 $v$ 处, 以及 ${\mu }_{\bar{L}v}$ 是概率度量 $\frac{1}{\mathrm{deg}\tilde{L}(X/K)}{c}_1(\bar{L})v^{\wedge n}[\mathrm{YZ}$, 引理 5.4.4]. 这里, $n=\dim X$, $c1(\bar{L})v$ 是在赋值 $v$ 处的曲率形式 (即, 一个正的 $(1,1)$-电流) . 特别地, $\mathrm{deg}\tilde{L}(X/K)$ 的正性可以通过复分析来表述, 通过在一个 archimedean 赋值处工作, 我们可能最好地理解电流 $c_1(\bar{L})$.

当处理拟射影多样性 $X$ 上具有特定 adelically 度量的线束 $\bar{L}$ 的示例时, 并不总是清楚何时满足 ${\mathrm{deg}}_{\tilde{L}}(X/K)$ 的正性. 但是, 对于动力学示例, 我们现在可以使用 $\S 4.2$ 中描述的叉流分流电流及其楔电流的正性来证明定理 4.2

44.4 示例应用: ${\mathbb{P}}^1$ 上的后临界有限 (post-critically finite, PCF) 映射.

Yuan-Zhang 在 $[\mathrm{YZ}]$ 的 $\S 6$ 中提出了一个重要的动力学示例, 该示例也在 [Ga] 中被 Gauthier 证明 (某些情况早已知晓) . 我们研究所有度数为 $d>1$ 的映射 $f:{\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^1$ 的模空间 $\mathrm{M}d$. 这是一个定义在 $\mathbb{Q}$ 上的仿射代数簇, 参数化了 ${\mathbb{P}}^1$ 上映射的 $\mathrm{PGL}2\mathbb{C}$-共轭类. 关于背景信息, 请参阅 $[\mathrm{Si}3]$. 在 $\mathrm{M}d$ 中, 我们对后临界有限 (PCF) 映射 $f$ 的几何和分布感兴趣; 即, 对于这样的映射, 每个临界点都有一个有限的正向轨道. 已知 PCF 映射在 $Md$ 中形成一个 Zariski 稠密子集; 例如, 可以参见 [De3, Theorem A]. 值得注意的是, 所有的 Lattès 映射都是 PCF, 尽管它们在 ${\mathrm{M}}_d$ 中只构成 1 参数族 (对于平方度数 $d$) 和有限集 (来自复乘法的椭圆曲线) . 在那些 " 灵活 " 的 Lattès 映射之外, 所有的 PCF 映射都可以在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上定义, 作为 Thurston 刚性定理 [DH] 的一个推论.

定理 4.2 表明, 相对于分叉测度$${\mu }_{\mathrm{bif}}:={\left({\hat{T}}_{f,\mathrm{bif}}\right)}^{\wedge (2d-2)}$$PCF 映射是均匀分布的, 其中 $f$ 是所有度数为 $d$ 的映射的普遍族, 且 $\dim \mathrm{M}d=2d-2$. 实际上, Silverman 在 $Md$ 上引入了一个临界高度函数, 由以下公式给出:

$${\hat{h}}_{\text{crit }}(f)=\sum _{c_i}{\hat{h}}_f\left(c_i\right),$$

在这里, $c_i$ 是映射 $f$ 的临界点. 这个高度与一个 nef 的 adelically metrized 直线丛 $\bar{L}$ 相关. 要应用定理 4.2, 我们需要知道 $\mathrm{deg}\tilde{L}\left(\mathrm{M}d\right)$ 的正性, 但是 (4.4) 告诉我们, 只需要知道度量 ${\mu }_{\text{bif }}$ 的正性就足够了. 这一点首次在 [BB] 中被证明, 观察到 ${\hat{T}}_{f,\text{ bif }}$ 的 (连续) 势函数在每个刚性 Lattès 映射处具有孤立的最小值 (即, 在具有复乘法的椭圆曲线上的刚性自同构的商) .

这意味着, 在模空间 $\mathrm{M}d$ 中, 度量 $\mu \text{bif}$ 的正性确保了 PCF 映射在该空间中是均匀分布的. 这一结果源自观察到刚性 Lattès 映射对应于势函数的局部最小值, 从而能够确保测度的正性. 这一发现强化了我们对 PCF 映射在动力学系统中的分布和几何结构的理解.

5椭圆曲线对

在这个例子中, 考虑了两个椭圆曲线 $E_1$ 和 $E_2$ 的配对问题, 研究了在这些曲线中的 torsion 点的几何性质. 给定定义在 $\mathbb{C}$ 上的椭圆曲线 $E_1$ 和 $E_2$ 以及满足 ${\pi }_i(P)={\pi }_i(-P)$ 的度为 2 的投影 ${\pi }_i:E_i\to {\mathbb{P}}^1$, 应用 Raynaud 的 Manin-Mumford 定理可以得出以下结论:

$${\pi }_1\left(E_1[\infty ]\right)={\pi }_2\left(E_2[\infty ]\right)\text{ or }\#{\pi }_1\left(E_1[\infty ]\right)\cap {\pi }_2\left(E_2[\infty ]\right)<\infty$$

这里 $E_i[\infty ]$ 表示 $E_i(\mathbb{C})$ 中所有 torsion 点的集合. Bogomolov-FuTschinkel 提出了一个问题: 是否存在一个关于交集 ${\pi }_1(E_1[\infty ])\cap {\pi }_2(E_2[\infty ])$ 的统一界限, 假设两个集合不重合?

最近 Poineau [Po] 已经证明了统一界限的存在, 并且还可以从 Kühne [Kü2] 和 Gao-Ge-Kühne [GGK] 的最近结果推导出这一界限; 也可以参考 [DKY] 处理某个 2 参数族配对的结果. 需要注意的是, 所有配对 $\left(\left(E_1,{\pi }_1\right),\left(E_2,{\pi }_2\right)\right)$ 的 (模) 空间的维数为 5.

在 [DM] 中, Mavraki 和我介绍了另一个与本讲座系列中的想法相关的证明. 我们依赖于定理 4.2, 并遵循 Mavraki 和 Schmidt 在早期工作 [MS] 中出现的证明概述. 我们研究了作用在 ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ 上的 Lattès 映射对 $(f,g)$, 并在 5 维参数空间 $S$ 中考虑了配对 $\left(\left(E_1,{\pi }_1\right),\left(E_2,{\pi }_2\right)\right)$. 我们研究了与 $S$ 上的对角线 $\Delta \subset {\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$ 相关的分叉电流 $\hat{T}\Delta$. 我们证明了顶楔幂 $\mu \Delta :=({\hat{T}}_{\Delta }{)}^{\wedge 5}$ 在 $S$ 上非零.

现在假设在 $S$ 中的通用点序列上, 序列上没有关于交集 ${\pi }_1(E_1[\infty ])\cap {\pi }_2(E_2[\infty ])$ 的统一界限. 这意味着对于任何正整数 $m$, Lattès 映射 $(f,g)$ 的 $m$ 元公共预周期点在空间 $S\times {\Delta }^m$ 中形成一个通用子集. 我们取 $m=6$, 在此空间上构造两个度量线束, 其高度函数为$$h_f(t,x,y)=h_{\bar{L}}(t,x)+{\hat{h}}_{f_t}(y)\text{ and }{h}_g(t,x,y)=h_{\bar{L}}(t,x)+{\hat{h}}_{g_t}(y)$$对于坐标 $(t,x,y)\in S\times {\Delta }^5\times {\mathbb{P}}^1$. 将定理 4.2 应用于这些线束, 我们得到关于两个测度 ${\mu }_{{\Delta }^5}\otimes \hat{T}f$ 和 $\mu {\Delta }^5\otimes \hat{T}g$ 在 $S\times {\Delta }^6\simeq S\times {\Delta }^5\times {\mathbb{P}}^1$ 上的等分布. 因此, 这两个测度现在必须相等. 通过切片这些测度, 我们将发现在 $S$ 中具有正 $\mu \Delta$-测度集合的参数的 ${\mathbb{P}}^1$ 上的典型测度满足 ${\mu }_f={\mu }_g$. 根据 [LP] 中的一个定理来刻画具有相同典型测度的 $(f,g)$ 对, 这与我们在空间 $S$ 中的 $f$ 和 $g$ 的一般独立性相矛盾. 我们得出结论, 在 $S$ 的 Zariski 开子集中存在关于 ${\pi }_1(E_1[\infty ])\cap {\pi }_2(E_2[\infty ])$ 的统一界限. 通过归纳地处理 $S$ 的维数, 我们证明了当且仅当 ${\pi }_1(E_1[\infty ])={\pi }_2(E_2[\infty ])$ 时, 统一界限才会失效.

通过这个示例, 我们可以看到如何在一般的情况下使用定理 4.2 来解决与椭圆曲线和动力系统相关的问题. 这种方法在处理复杂的参数空间和高度函数时具有很好的适用性, 提供了一种通用的框架来研究各种问题的正解.