用户: Lieriheart/稳定同伦论/同伦推出和同伦拉回

定义 0.1 (同伦拉回). 取 $f:X\to Z$ 和 $g:Y\to Z$ 为拓扑空间之间的映射, 我们有 $X{\times }_Z^{h}Y$ 为同伦拉回$$X{\times }_Z^{h}Y:=X{\times }_Z{Z}^{[0,1]}{\times }_{Z}Y=\{(x,p,y)\in X{\times }_Z^{h}Y|p(0)=f(x),p(1)=g(x)\}$$我们有 $p{r}_1:X{\times }_Z^{h}Y\to X$ 与 $p{r}_2:X{\times }_Z^{h}Y\to Y$ 为两个投影映射, 由 $((x,p,y),t)\mapsto p(t)$ 给出 $H:(X{\times }_Z^{h}Y)\times [0,1]\to Z$ 注意到 $H_0=f\circ p{r}_1$ , $H_1=g\circ p{r}_2$ 所以我们得到这个交换图: 事实上, 这一交换图有以下泛性质, 对于任意空间 $T$ 以及态射 $T\to X\times Z^{h}Y$, 都相当于给出一对态射 $t_X:T\to X$ 以及 $t_Y:T\to Y$ 使得 $f\circ t_X\sim g\circ t_Y$ 为同伦, 这相当于说使用同伦代替拉回中的严格相等.

例 0.2 (同伦纤维). $f:X\to Y$ , 点 $y\in Y$ 的同伦纤维是 $y:\ast \to Y$ 的同伦拉回

例 0.3 (环路空间). 带基点的拓扑空间 $(x,X)$ 的环路空间 $\Omega X$ 由 $\ast \to X$ $$\Omega X=\Omega (x,X)=\{p:[0,1]\to X|p(0)=p(1)=x\}$$给出

给出带基点的拓扑空间的映射 $f:X\to Y$ , 由 $\Omega f(p)=f\circ p$ 诱导出他们的环路空间映射 $\Omega f:\Omega X\to \Omega Y$ . 这给出了函子:$$\Omega :{\mathsf{Top}}_{\ast }\to {\mathsf{Top}}_{\ast }$$

定义 0.4 (同伦推出). 取 $f:Z\to X$ 和 $g:Z\to Y$ 为拓扑空间的映射, 我们有 $X{\bigsqcup }_Z^{h}Y$ 为同伦拉回$$X{\bigsqcup }_Z^{h}Y=X{\bigsqcup }_{Z}Z\times [0,1]{\bigsqcup }_{Z}Y=X\bigsqcup Z\times [0,1]\bigsqcup Y/\sim$$等价关系由 $(z,0)\in Z\times [0,1],f(z)\in X\sim (z,1)\in Z\times [0,1],g(z)\in Y$ 给出. 记 ${\iota }_X:X\hookrightarrow X{\bigsqcup }_Z^{h}Y,x\mapsto x$ 以及 ${\iota }_Y:Y\hookrightarrow X{\bigsqcup }_Z^{h}Y,y\mapsto y$ 为典范嵌入. 记 $H:Z\times [0,1]\to X{\bigsqcup }_Z^{h}Y$ 为由 $(z,t)\mapsto (z,t)$. 注意到此时 $H_0={\iota }_X\circ f$, $H_1={\iota }_Y\circ g$, 由此给出交换图表不难推断其泛性质, 留给读者作为习题.

定义 0.5 (同伦余纤维). $f:X\to Y$ 为拓扑空间的映射, 定义 $f$ 的同伦余纤维 $C(f)$ 为$$C(f)=Y{\bigsqcup }_X^h\ast =Y{\bigsqcup }_X(X\times [0,1])/X\times 1$$给定 $g:Y\to Z$ 为零伦: $g\circ f\sim {\mathrm{const}}_z$ , 即存在态射 $H:X\times [0,1]\to Z$ 使得 $H_0=gf$ 且 $H_1={\mathrm{const}}_z$. 可以得到典范态射$$C(f)\to Z,y\mapsto g(y),(x,t)\mapsto H(x,t).$$称序列 $X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z$ 为余纤维列是指典范态射 $C(f)\to Z$ 是同伦等价.

例 0.6. $f={\mathrm{id}}_X:X\to X$ 为单位映射, 余纤维 $C({\mathrm{id}}_X)$ 为$$C(X)=(X\times [0,1])/X\times 1.$$注意到 $C(f)=Y{\bigsqcup }_{X}C(X)$.

注 0.7. 若 $(X,x)$ 为带点空间, 我们一般考虑其上约化锥, 定义为$$\tilde{C}(X):=C(X)/\{x\}\times [0,1]$$同理, 若 $f:X\to Y$ 为带点态射, 则可以给出其约化余纤维 $\tilde{C}(f):=Y{\bigsqcup }_X\tilde{C}(X)$. 对于序列 $X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z$ 也可以给出余纤维列的约化版本, 此时称该序列为 ${\mathsf{CW}}_{\ast }$ 中的余纤维列.

引理 0.8. $\Sigma ⊣\Omega$.

证明. 考虑带点空间 $(X,x)$, $(Y,y)$. 不难发现 $\Sigma X\to Y$ 相当于给出态射 $H:X\times [0,1]\to Y$ 使得 $H_0=H_1={\mathrm{const}}_y$ 且对于任意 $t\in [0,1]$ 有 $H_t(x)=y$. 根据指数律, 这可以直接对应为 $\tilde{H}:X\to Y^{[0,1]}$, 使得 $\tilde{H}(0)=\tilde{H}(1)={\mathrm{const}}_y$ 且 $\tilde{H}(x)(t)=y$.

$\square$

回忆到带点拓扑空间范畴 ${\mathsf{Top}}_{\ast }$ 的同伦范畴 $h{\mathsf{Top}}_{\ast }$ 定义为其关于同伦的商, 即将态射换为其同伦类, 比如 ${\mathrm{Hom}}_{h{\mathsf{Top}}_{\ast }}((X,x),(Y,y))$ 变为其带点同伦类, 记为 $[X,Y{]}_{\ast }$.

推论 0.9. 上述伴随可以推广到 $h{\mathsf{Top}}_{\ast }$ 的情况.

定义 0.10 (同伦群). 对于 $k\ge 1$, 定义带点空间 $(X,x)$ 的同伦群为$${\pi }_k(X,x):=[{\mathbb{S}}^k,X{]}_{\ast }$$

上述推论直接给出$${\pi }_k(\Omega X)=[{\mathbb{S}}^k,\Omega X{]}_{\ast }\simeq [\Sigma {\mathbb{S}}^k,X{]}_{\ast }\simeq [{\mathbb{S}}^{k+1},X{]}_{\ast }={\pi }_{k+1}(X)$$