用户: Lieriheart/棱镜/棱镜

定理 0.1. 取 $A$ 为 $δ - 环$ , $f 为特异元$ , $u 为单位$ . $如果 f ， p \in R a d (A)$ , 则 $u f$ 为特异元

证明. 有

δ (u f) = u^{p} δ (f) + f^{p} δ (u) + p δ (u) δ (f)

. 又注意到

u^{p} δ (f) 为单位， f^{p} δ (u) + p δ (u) δ (f) \in R a d (A)

, 有

δ (u f)

为单位

$□$

引理 0.2. $A 为 δ 环，取闭集 Z \in Sp ec (A / (p)) 。则 A 关于 Z 的局部化唯一$

引理 0.3. $A 为 δ 环， f, p \in R a d (A) ，则如果 f 为特异元当且仅当 p \in (f, ϕ (f)) 。$

证明.

假设 f 为奇异元，有 ϕ (f) = f^{p} + p δ (f) ，且 δ (f) 为单位，有 p \in (f, ϕ (f))

假设 p \in (f, ϕ (f)) ，又 p, f \in R a d (A) ，则有 A / (p, f, δ (f)) = 0

$□$