用户: Junyu*Cao/杂项/Hermite 流形上的 Laplacian

1动机与记号

对于 Hermite 流形 $(X,\omega )$, 我们可定义如下的 Laplacians$$\begin{array}{rl}{\Delta }_{c,\omega }u& =-{\mathrm{t}\mathrm{r}}_{\omega }(\sqrt{-1}\partial \overline{\partial }u)=-{\Lambda }_{\omega }(\sqrt{-1}\partial \overline{\partial }u)\\ {\Delta }_{\omega }u& =({\mathrm{d}}_{\omega }^{\ast }\mathrm{d}+\mathrm{d}{\mathrm{d}}_{\omega }^{\ast })u\\ {\Delta }_{\partial ,\omega }u& =({\partial }_{\omega }^{\ast }\partial +\partial {\partial }_{\omega }^{\ast })u\\ {\Delta }_{\overline{\partial },\omega }u& =({\overline{\partial }}_{\omega }^{\ast }\overline{\partial }+\overline{\partial }{\overline{\partial }}_{\omega }^{\ast })u\end{array}$$上面的 $u$ 取值为 $X$ 上的光滑微分形式. 人们有时将 ${\Delta }_{c,\omega }$ 称为典则 Laplacian, 另外注意到 ${\Delta }_{\omega }$ 和 $X$ 的黎曼结构的 Laplace 一样.

例 1.1. 这也是一种 Laplacian (雾):

ラプラス

如果 $(X,\omega )$ 是 Kähler 流形, 那么由 Hodge 等式我们有$${\Delta }_{\omega }u=2{\Delta }_{c,\omega }u=2{\Delta }_{\partial ,\omega }u=2{\Delta }_{\overline{\partial },\omega }u对所有光滑形式u\in {\Omega }^{\ast }(X)$$

但对一般的 Hermite 流形 $(X,\omega )$, 上述等式不一定成立, 本文将对这种现象进行讨论.

2Hermite 流形上的 Laplacian

函数上的 Laplacian

从最开始的定义可以知道, Laplacian 可以作用在任一光滑微分形式上, 但为简单起见, 我们先考虑它们作用在函数上的情形.

由于我们有同构:$$L_{\omega }^{n-1}:{\Omega }^1(X)\to {\Omega }^{2n-1}(X)$$

我们定义 $\omega$ 的扭 1-形式 $\theta \in {\Omega }^1(X)$ 为 (有时也称 $\theta$ 为 Lee form, Lee 形式):$$\mathrm{d}{\omega }^{n-1}={\omega }^{n-1}\wedge \theta$$

由于$$\mathrm{d}(\theta \wedge {\omega }^{n-1})=\mathrm{d}\theta \wedge {\omega }^{n-1}=0$$

我们可知 $\mathrm{d}\theta$ 是本原 (primitive) 2-形式, 满足 ${\Lambda }_{\omega }\mathrm{d}\theta =0$, ${\omega }^{n-2}\wedge \mathrm{d}\theta =c_n\ast \mathrm{d}\theta$ ($c_n$ 是一仅依赖于 $n$ 的常数).

注意 $\theta$ 是实的微分形式, 我们有$$\theta ={\theta }^{1,0}+{\theta }^{0,1}={\theta }^{1,0}+\overline{{\theta }^{1,0}}$$

考虑到$$\begin{array}{r}\ast {\theta }^{1,0}=-\frac{\sqrt{-1}}{(n-1)!}{\theta }^{1,0}\wedge {\omega }^{n-1},\ast {\theta }^{0,1}=\frac{\sqrt{-1}}{(n-1)!}{\theta }^{0,1}\wedge {\omega }^{n-1}\end{array}$$

我们有$$\begin{array}{rl}{\mathrm{d}}^{\ast }\omega & =-\ast \mathrm{d}\ast \omega =-\ast \mathrm{d}\frac{{\omega }^{n-1}}{(n-1)!}\\ & =-\frac{\ast ({\omega }^{n-1}\wedge \theta )}{(n-1)!}\\ & =\sqrt{-1}({\theta }^{1,0}-{\theta }^{0,1})=J\theta \end{array}$$

利用 Lefschetz 分解, 我们有:$$\mathrm{d}\omega =\omega \wedge \tau +\psi$$这里 $\psi$ 是本原 3-形式, 满足 ${\Lambda }_{\omega }\psi =0={\omega }^{n-2}\wedge \psi$. 代入之前等式, 我们有: $$\begin{array}{rl}\mathrm{d}({\omega }^{n-1})& =(n-1){\omega }^{n-2}\wedge \mathrm{d}\omega \\ & =(n-1){\omega }^{n-2}(\omega \wedge \tau +\psi )\\ & =(n-1){\omega }^{n-1}\wedge \tau \end{array}$$于是$$\mathrm{d}\omega =\frac{1}{n-1}\omega \wedge \theta +\psi$$

下面介绍一利于计算的引理:

引理 2.1. $$\begin{array}{rl}{\partial }_{\omega }^{\ast }\alpha & =\sqrt{-1}{\Lambda }_{\omega }(\overline{\partial }\alpha -\alpha \wedge {\theta }^{0,1})对\alpha 光滑(1,0)-形式\\ {\overline{\partial }}_{\omega }^{\ast }\beta & =-\sqrt{-1}{\Lambda }_{\omega }(\partial \beta +{\theta }^{1,0}\wedge \beta )对\beta 光滑(0,1)-形式\\ {\mathrm{d}}_{\omega }^{\ast }u& ={\partial }_{\omega }^{\ast }{u}^{1,0}+{\overline{\partial }}_{\omega }^{\ast }{u}^{0,1}对u光滑1-形式\end{array}$$

证明.

证明. 我们仅算第一个, 其余类似: $$\begin{array}{rl}{\partial }_{\omega }^{\ast }\alpha & =-\ast \overline{\partial }\ast \alpha =\frac{\sqrt{-1}}{(n-1)!}\ast \overline{\partial }({\omega }^{n-1}\wedge \alpha )\\ & =\frac{\sqrt{-1}}{(n-1)!}\ast (\overline{\partial }({\omega }^{n-1})\wedge \alpha +{\omega }^{n-1}\wedge \overline{\partial }\alpha )\\ & =\frac{\sqrt{-1}}{(n-1)!}\ast [{\omega }^{n-1}\wedge (\overline{\partial }\alpha -\alpha \wedge {\theta }^{0,1})]\end{array}$$注意$$\ast ({\omega }^{n-1}\wedge a)=(n-1)!{\Lambda }_{\omega }a对于2-形式a$$我们得到$${\partial }_{\omega }^{\ast }\alpha =\sqrt{-1}{\Lambda }_{\omega }(\overline{\partial }\alpha -\alpha \wedge {\theta }^{0,1})$$

$\square$

利用以上计算, 我们有:

命题 2.2. 设 $u\in C^{\infty }(X)$, 则$$\begin{array}{rl}2{\Delta }_{c,\omega }u& ={\Delta }_{\omega }u+⟨\mathrm{d}u,\theta {⟩}_{\omega }\\ {\Delta }_{c,\omega }u& ={\Delta }_{\partial ,\omega }u+\sqrt{-1}{\Lambda }_{\omega }(\partial u\wedge {\theta }^{0,1})\\ {\Delta }_{c,\omega }u& ={\Delta }_{\overline{\partial },\omega }u+\sqrt{-1}{\Lambda }_{\omega }({\theta }^{1,0}\wedge \overline{\partial }u)\end{array}$$

证明.

证明. 利用引理 2.1, 对 1-形式 $\mathrm{d}u,\partial u,\overline{\partial }u$ 分别进行计算.

$\square$

至此, 我们可定义均衡度量

定义 2.3. Hermite 度量 $(X,\omega )$ 被称为均衡的, 如果它满足如下几个等价性质之一:

•	$\theta =0$
•	$\mathrm{d}{\omega }^{n-1}=0$
•	${\mathrm{d}}_{\omega }^{\ast }\omega =0$
•	${\Delta }_{\omega }u=2{\Delta }_{c,\omega }u=2{\Delta }_{\partial ,\omega }u=2{\Delta }_{\overline{\partial },\omega }u对所有光滑函数u\in C^{\infty }(X)$

注 2.4. 对均衡度量, 我们有如下几个结果 ( 见 [Fu])

•	紧致复流形 $X$ 上存在均衡度量的充分必要条件是 $X$ 上的正的, 边界的, 阶为 $(1,1)$ 的广义微分形式 $T$ 全为 0 (一个实广义微分形式 $T$ 被称作是边界, 如果存在 $(1,0)$ 广义微分形式 $S$, 满足 $T=\overline{\partial }S+\partial \overline{S}$).
•	设 $f:X\to Y$ 为紧复流形间的全纯双有理态射 (modification), 那么 $X$ 上有均衡度量当且仅当 $Y$ 上有均衡度量.
•	$X$ 为维数为 3 的紧复流形, $C$ 为 $X$ 上的光滑曲线, 若 $X\backslash C$ 上有 Kähler 度量, 那么 $X$ 有均衡度量.
•	(猜想) $X$ 为维数不小于 3 的紧复流形, $N$ 是余维数大于等于 1 的解析集, 若 $X\backslash N$ 上有 Kähler 度量, 那么 $X$ 有均衡度量.

注 2.5. 如果你比较无聊, 你或许会考虑满足 $\mathrm{d}{\omega }^{n-j}=0$ (等价的, $d_{\omega }^{\ast }{\omega }^j=0$) 的度量 ($j>1$). 然而它们是平凡的条件: 实际上$$\mathrm{d}{\omega }^{n-j}=0\Rightarrow \mathrm{d}\omega \wedge {\omega }^{n-3}=0$$注意 $\wedge {\omega }^{n-3}$ 是 ${\Omega }^3(X)$ 到 ${\Omega }^{2n-3}(X)$ 的同构, 上述条件蕴含 $\mathrm{d}\omega =0$, 即 $\omega$ 是 Kähler 的.

以下定理描述均衡度量和 Kähler 度量的差距

定理 2.6. 对 $(X,\omega )$ 紧致 Hermite 流形, 若 $d^{\ast }\omega =0$ 且 ${\Lambda }_{\omega }(\partial \overline{\partial }\omega )=0$, 则 $\mathrm{d}\omega =0$.

证明.

证明. [Yang thesis], Proposition 2.3.8, pp69.

$\square$

注 2.7. 介绍一些术语:

•	若 $\partial \overline{\partial }\omega =0$, 则 $\omega$ 被称作多重闭 (pluriclosed) 度量或 SKT 度量 (SKT = strong KT, KT = Kähler with torsion).
•	若 $\mathrm{d}\theta =0$, 则 $\omega$ 被称作局部共形均衡的 (locally conformal balanced, lcb).
•	若 $\mathrm{d}\theta =0$ 且 $\psi =0$, 则 $\omega$ 被称作局部共形 Kähler 的 (locally conformal Kähler , lcK)

一些简单性质:

•	$n>2$, $\psi =0⟹\mathrm{d}\theta =0$ (算 $\mathrm{d}{\omega }^{n-2}$ 即可, 注意 Lefschetz 同构)
•	lcb, lcK 是共形不变的.

更多微分形式的计算

在本小节中我们继续上一小节的微分形式计算, 这些计算基本是程序性的, 基本方法如下:

•	对任一微分形式, 我们对它做 Lefschetz 分解, 分解成一列本原微分形式的和.
•	对本原微分形式 $\alpha \in {\Omega }^{p,q}$, 它的 Hodge 星算子是容易计算的, 事实上我们有 Weil 等式 (不平凡, 参考 Voisin’s first volume of Hodge theory, pp150) (记 $k=p+q$): $$\ast \alpha =(-1{)}^{\frac{k(k+1)}{k}}{\sqrt{-1}}^{p-q}\frac{L_{\omega }^{n-k}}{(n-k)!}\alpha$$

注 2.8. 上述方法只对阶不大于二的微分形式较为有效, 否则我们将会遇到形如 $\omega \wedge \beta$, $\mathrm{deg}\beta >0$ 的微分形式, 对它求 Hodge 星算子是不容易的.

有公式 ($未检验$): $$\ast ({\omega }^k\wedge \ast ({\omega }^k\wedge \beta ))=-(n-k)\beta 对\beta 为一形式$$是否有$$\ast ({\omega }^k\wedge \ast ({\omega }^k\wedge \beta ))=c\beta 对一般的微分形式成立$$等价于算$$g(\alpha \wedge {\omega }^k,\beta \wedge {\omega }^k)=cg(\alpha ,\beta )$$

为便于计算, 我们再介绍一些简单事实:

•	$\ast \ast =(-1{)}^k$ 作用在 ${\Omega }^k$ 上
•	$\ast {\omega }^p=\frac{p!}{(n-p)!}{\omega }^{n-p}$
•	$\alpha \wedge \overline{\ast \alpha }=|\alpha {|}_{\omega }^2\frac{{\omega }^n}{n!}$
•	(Weil 等式的特例) 对 $(1,1)$ 形式 $\alpha$, 我们有$$L^{n-2}\alpha =-(n-2)!\ast \alpha$$

下面介绍一算例:

命题 2.9. 设 $\varphi$ 为 $(0,1)-$ 形式, $\partial \varphi$ 的 Lefschetz 分解为$$\partial \varphi =\omega f_1+f_2,f_1为光滑函数，f_2为本原形式$$则$$\begin{array}{rl}{\overline{\partial }}_{\omega }^{\ast }\varphi & =-\sqrt{-1}(n{f}_1+{\Lambda }_{\omega }(\theta \wedge \varphi ))\\ \frac{1}{n(n-1)}|\partial \varphi {|}_{\omega }^2{\omega }^n& =\frac{|f_1{|}^2}{n-1}{\omega }^n-f_2\wedge \overline{f_2}\wedge {\omega }^{n-2}\\ |{\overline{\partial }}^{\ast }\varphi {|}^2{\omega }^n& =|n{f}_1+{\Lambda }_{\omega }(\theta \wedge \varphi ){|}^2{\omega }^n\\ \partial \varphi \wedge \overline{\partial }\overline{\varphi }\wedge {\omega }^{n-2}& =|f_1{|}^2{\omega }^n+f_2\wedge \overline{f_2}\wedge {\omega }^{n-2}\end{array}$$当 $\theta =0$ 时, 我们有$$-\partial \varphi \wedge \overline{\partial }\overline{\varphi }\wedge {\omega }^{n-2}=\frac{1}{n(n-1)}(|\partial \varphi {|}_{\omega }^2-|{\overline{\partial }}^{\ast }\varphi {|}^2){\omega }^n$$

Gauduchon 度量

Kähler 度量的刻画

3向量丛版本

4参考文献

•	Martin Lubke, Andrei Teleman The Kobayashi-Hitchin correspondence (Martin Lubke, Andrei Teleman) 附录部分
•	Xiaokui Yang’s PhD thesis
•	傅吉祥 A Survey on Balanced Metrics

术语翻译

典则 Laplacian • 英文 canonical laplacian

扭 1-形式 • 英文 torsion 1-form

均衡度量 • 英文 balanced metric