用户: Junyu*Cao/杂项/广义微分形式的d-dbar引理

1正文

本文对广义微分形式证明 $\partial \overline{\partial }$ 引理. 下设 $(X,\omega )$ 为紧 Kähler 流形, 上面成立 Hodge 恒等式: $${\Delta }_d=0.5{\Delta }_{\partial }=0.5{\Delta }_{\overline{\partial }},[\overline{\partial },{\partial }^{\ast }]=0$$

我们对广义微分形式有 Hodge 分解, 参见 [deRham] pp 134, Theorem 23:

命题 1.1. 我们在紧黎曼流形 $(M,g)$ 上, 对任一广义微分形式 $T$, 我们有$$T=HT+{\Delta }_{g}GT$$这里 $HT$ 是调和形式, $G$ 是 Green 算子, 若 $T$ 的阶数是 $p$, 则 $GT$ 的阶数是 $p-1$.

基于此, 我们开始证明

命题 1.2. 若 $T$ 是一个实的, $d-$ 闭的 $(p,p)$ 广义微分形式, 如果 $T=\overline{\partial }{T}_1$, 则 $T=\partial \overline{\partial }{T}_2$

证明. 对 $T_1$ 使用 Hodge 分解, 注意 Kähler 流形上的几个 Laplace 算子仅差常数倍, 我们对它们不做区分, 我们有$$T_1=T_3+\Delta T_4$$其中 $T_3$ 调和. 于是由 $T$ 是 $\partial$-闭的, 我们有: $$\partial \overline{\partial }\Delta T_4=\partial \overline{\partial }{\partial }^{\ast }\partial T_4=0$$用 Kähler 等式 $[\overline{\partial },{\partial }^{\ast }]=0$, 我们有$$\partial {\partial }^{\ast }\overline{\partial }\partial T_4=0$$于是 $\overline{\partial }\partial T_4$ 调和, ${\partial }^{\ast }\overline{\partial }\partial T_4=0$ $$T=\overline{\partial }(\partial {\partial }^{\ast }+{\partial }^{\ast }\partial )T_4=-\partial \overline{\partial }({\partial }^{\ast }{T}_4)$$证毕.

$\square$

命题 1.3. 对于一个正的, 实, 闭的 $(1,1)$ 广义微分形式 $T$, 如果 $T$ 所代表的同调类为 0 , 则 $T=\sqrt{-1}\partial \overline{\partial }\varphi$, 这里的 $\varphi \in L^1(X)\cap PSH(X)$.

证明. 由命题 1.2 可知, $T=\sqrt{-1}\partial \overline{\partial }S$. 由于 $T$ 正, 闭, 我们可取 $X$ 的一个开覆盖 $\{U_j\}$, 使得 $T=\sqrt{-1}\partial \overline{\partial }{\varphi }_j$ 在 $U_j$ 上, 其中 ${\varphi }_j\in L_{loc}^1(U_j)\cap PSH(U_j)$. 于是 $\sqrt{-1}\partial \overline{\partial }(S-{\varphi }_j)=0$, 利用椭圆正则性, $S-{\varphi }_j$ 光滑, $S=S-{\varphi }_j+{\varphi }_j$ 在 $U_j$ 上为 $L_{loc}^1(U_j)\cap PSH(U_j)$. 进而 $S\in L_{loc}^1(X)\cap PSH(U_j)$. 考虑 $X$ 的紧性, $T=\sqrt{-1}\partial \overline{\partial }\varphi$, $\varphi \in L^1(X)\cap PSH(X)$

$\square$

注 1.4. 在证明中我们使用了如下结果, 如果两个 PSH 函数几乎处处相等, 那么它们相等. 我们将随后给出证明.

引理 1.5. 设 $u$ 为 $\Omega$ 上的一个次调和函数. 设 $B$ 为 $\Omega$ 的一个零测集. 则$$\underset{z^{\prime }\notin B\to z}{\mathrm{limsup}}u(z^{\prime })=u(z)$$特别的, 对两个次调和函数 $u_1,u_2$, 如果 $u_1=u_2$ a.e., 则 $u_1=u_2$.

证明. 取 $a\in \Omega$, 利用平均值不等式$$u(a)\le \frac{1}{|B(a,r)|}{\int }_{B(a,r)}u(y)\mathrm{d}y=\frac{1}{|B(a,r)|}{\int }_{B(a,r)\backslash B}u(y)\mathrm{d}y\le \underset{z^{\prime }\notin B\to a}{\mathrm{limsup}}u(z^{\prime })$$由上半连续性, $$\underset{z^{\prime }\notin B\to a}{\mathrm{limsup}}u(z^{\prime })\le \underset{z^{\prime }\to a}{\mathrm{limsup}}u(z^{\prime })=u(a)$$即证.

$\square$

2参考文献

•	deRham Differentiable Manifolds, Forms, Currents, Harmonic Forms