用户: Junyu*Cao/复几何/完备复流形的注记

在本文中, 我们考虑带有光滑 Hermite 度量的复流形 $(X,\omega )$. 此时 $\omega$ 将自然诱导出 $X$ 作为实流形的 Riemann 结构 $g$, 本文将在 $X$ 的 Hermite 度量与其 Riemann 度量之间不加说明的切换. 它们之间的转换关系由如下等式刻画: $$\begin{array}{rl}\omega (u,v)=g(Ju,v)& 对u,v\in T_{\mathbb{C}}X\\ h(u,v)=g(u,\bar{v})& 对u,v\in T_{\mathbb{C}}^{1,0}X\\ ih(u,v)=\omega (u,\bar{v})& 对u,v\in T_{\mathbb{C}}^{1,0}X\end{array}$$

1完备性

首先回忆 Riemann 流形的完备性刻画

定义 1.1. Riemann 流形 $(M,g)$ 被称为完备的, 如果以下四条等价条件之一成立

•	$(M,d)$ 是完备度量空间, 其中 $d$ 是 $g$ 诱导的距离函数
•	(Hopf-Rinow 定理) 对于黎曼流形 $M$ 上的任何一点 $a$ 以及 $r\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}$, 我们有闭球 $B(a,r):=\{x\in M\mid d(x,a)\le r\}$ 是 $M$ 中紧集.
•	$M$ 上存在一个光滑的穷竭函数 $\psi$, 满足 $|\mathrm{d}\psi {|}_g\le 1$
•	$M$ 上有一族由紧集构成的穷竭序列 $\{K_{\nu }{\}}_{\nu \ge 1}$ 以及一族光滑函数 $\{{\psi }_{\nu }{\}}_{\nu \ge 1}$, 它们满足如下的条件$$\begin{array}{rl}& {\psi }_{\nu }{|}_{K_{\nu }}=1,\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}{\psi }_{\nu }\subset K_{\nu +1}^{\circ }\\ & 0\le {\psi }_{\nu }\le 1且|\mathrm{d}{\psi }_{\nu }{|}_g\le 2^{-\nu }\end{array}$$

注 1.2. 穷竭函数是 $M$ 上的一个连续函数 $f$, 它满足 $f^{-1}((-\infty ,c])$ 对于任意的实数 $c$ 都是 $M$ 中紧集. 穷竭序列则是 $M$ 上的一列子集族 $\{K_{\nu }{\}}_{\nu \ge 1}$, 它们满足如下条件: $$K_{\nu }\subset K_{\nu +1}^{\circ },{\cup }_{\nu }{K}_{\nu }=M$$

证明. 参考 [Dem], 第 366 页.

$\square$

我们称 $(X,\omega )$ 是完备的, 如果它对应的 Riemann 流形是完备的. 根据 Riemann 流形的结果, 我们总是可以找到 $M$ 上的完备度量. 相应地, $X$ 上的完备 Hermite 度量总存在.

在实际使用中, 我们还需要前述的完备度量 $(X,\omega )$ 满足可积性条件, 亦即 $\mathrm{d}\omega =0$, $\omega$ 是 Kähler 度量.

定义 1.3. $(X,\omega )$ 被称为完备 Kähler 流形, 如果 $\omega$ 是完备的 Kähler 度量. 我们称 $X$ 是完备 Kähler 流形, 如果 $X$ 上存在一个完备 Kähler 度量 $\omega$.

例 1.4. 紧 Kähler 流形都是完备 Kähler 流形.

以下是一个常用引理, 它说明完备 Kähler 流形上的任一 Kähler 度量都可被一族完备 Kähler 度量单调下降地逼近:

引理 1.5. 对于 Riemann 流形 $M$ 上的两个度量 $g_1,g_2$, 如果它们当中有一个是完备度量, 那么 $g_1+g_2$ 也是完备的.

证明. 由 Hopf-Rinow 定理, 只需证由距离函数定义的闭球是紧的. 这由于 $g_1+g_1$ 定义的闭球包含于 $g_1$ 与 $g_2$ 定义的闭球中, 由完备性, 后两者定义的闭球有一个是紧的. 而 Hausdorff 空间中紧集的闭子集是紧集, 引理得证.

$\square$

推论 1.6. 对于完备 Kähler 流形 $X$ 上的任一 Kähler 度量 $\omega$, 我们有一族单调下降的完备 Kähler 度量 $\{{\omega }_{\nu }=\omega +\frac{1}{\nu }\hat{\omega }{\}}_{\nu \in {\mathbb{N}}_{\ge 1}}$ 逼近于 $\omega$. 这里 $\hat{\omega }$ 是 $X$ 上的一个完备 Kähler 度量.

证明. 由引理 1.5 可知 ${\omega }_{\nu }$ 都是完备的.

$\square$

2凸性

复几何与多复变的一个重要概念是 “凸性”, 它与前文所述的完备性有着重要的联系. 我们先介绍一些 “凸性” 的定义.

3参考文献

•	Jean-Pierre Demailly. Complex analytic and differential geometry. https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/ demailly/manuscripts/agbook.pdf
•	Jean-Pierre Demailly. Estimations ${\mathrm{L}}^2$ pour l’opérateur $\overline{\partial }$ d’un fibré vectoriel holomorphe semi-positif au-dessus d’une variété kählérienne complète. In Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, volume 15, pages 457–511, 1982.

术语翻译

穷竭函数 • 英文 exhaustion function

穷竭序列 • 英文 exhaustive sequence