用户: Jin1/Lie群Lie代数的ad表示

本文介绍我认为引入 Lie 群的 Lie 代数的 ad 表示最自然的方式.

一些微分几何知识

外微分的自然性

外微分的自然性是指如下交换图:

Lie 导数

设 $E$ 是 $M$ 上的向量丛, $X$ 是 $M$ 上的向量场, 对于 $E$ 的截面 $s$, 定义 Lie 导数 ${\mathcal{L}}_{X}s$ 为 “沿着 $X$ 的流的变化”:$${\mathcal{L}}_{X}s=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}{\theta }_t^{\ast }s,$$其中 ${\theta }_t$ 是 $X$ 的流.

Lie 导数与外微分交换

使用外微分的自然性, 我们有 ($\omega \in {\Omega }^k(M)$)$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_{X}d\omega & =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\theta }_t^{\ast }d\omega -d\omega }{t}\\ & =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{d{\theta }_t^{\ast }\omega -d\omega }{t}\\ & =d\left(\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\theta }_t^{\ast }\omega -\omega }{t}\right)\\ & =d{\mathcal{L}}_X\omega ,\end{array}$$即 Lie 导数与外微分可交换.

Lie 括号

由定义, Lie 导数有 Leibniz 法则$${\mathcal{L}}_X(s\otimes t)=({\mathcal{L}}_{X}s)\otimes t+s\otimes ({\mathcal{L}}_{X}t).$$且 ${\mathcal{L}}_X$ 与缩并可交换. 从而$$\begin{array}{rl}XYf={\mathcal{L}}_X(Yf)& ={\mathcal{L}}_X⟨df,Y⟩\\ & =⟨{\mathcal{L}}_{X}df,Y⟩+⟨df,{\mathcal{L}}_{X}Y⟩\text{(Leibniz法则, Lie导数与缩并可交换)}\\ & =⟨d{\mathcal{L}}_{X}f,Y⟩+⟨df,{\mathcal{L}}_{X}Y⟩\text{(Lie导数与外微分可交换)}\\ & =YXf+({\mathcal{L}}_{X}Y)f,\end{array}$$即$$({\mathcal{L}}_{X}Y)f=(XY-YX)f.$$

我们定义向量场 $X,Y$ 的 Lie 括号为向量场 $[X,Y]={\mathcal{L}}_{X}Y$,$$[X,Y]f=({\mathcal{L}}_{X}Y)f=(XY-YX)f,$$那么直接验证可得 Lie 括号的反对称性$$[Y,X]=-[X,Y]$$与 Jacobi 等式$$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0.$$

使用反对称性, 上式可改写为 Lie 导数对 Lie 括号的 Leibniz 法则:$${\mathcal{L}}_X[Y,Z]=[{\mathcal{L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal{L}}_{X}Z].$$

Lie 括号的自然性

所谓 Lie 括号的自然性是指, 对任意光滑映射 $\Phi :M\to N$,$$[{\Phi }_{\ast }X,{\Phi }_{\ast }Y]={\Phi }_{\ast }([X,Y]).$$这是因为, 设 ${\theta }_t$ 是 $X$ 的流, ${\tilde{\theta }}_t$ 是 ${\Phi }_{\ast }X$ 的流, 那么有交换图从而$$({\tilde{\theta }}_{-t}{)}_{\ast }{\Phi }_{\ast }Y={\Phi }_{\ast }({\theta }_{-t}{)}_{\ast }Y,$$取 $t=0$ 的导数就得到$${\mathcal{L}}_{{\Phi }_{\ast }X}{\Phi }_{\ast }Y={\Phi }_{\ast }{\mathcal{L}}_{X}Y.$$

设 $X$ 是 Lie 群 $G$ 上的向量场, 若 $(L_g{)}_{\ast }X=X\forall g\in G$, 则称其为左不变向量场. ($L_g:x\mapsto gx$.)

对于左不变向量场 $X,Y$,$$\begin{array}{rl}(L_g{)}_{\ast }[X,Y]& =[(L_g{)}_{\ast }X,(L_g{)}_{\ast }Y]\text{(Lie括号的自然性)}\\ & =[X,Y],\end{array}$$即 $[X,Y]$ 也是左不变向量场. 因此, 左不变向量场关于 Lie 括号构成一个 Lie 代数, 记之为 $\mathfrak{g}$.

伴随表示

大 Ad 表示

定义大 $\mathrm{Ad}$ 表示 $\mathrm{Ad}:G\to GL(T_{1}G)$:$$\mathrm{Ad}g(X):=(L_g{)}_{\ast }(R_{g^{-1}}{)}_{\ast }X.$$其中 $R_g:x\mapsto xg$.

小 ad 表示

所谓 Lie 代数的表示即是一个 Lie 代数到某个 $\mathfrak{gl}(V)$ 的 Lie 代数同态. 定义小 $\mathrm{ad}$ 表示 $\mathrm{ad}:\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})$:$$\mathrm{ad}X(Y):=[X,Y].$$要验证这是 Lie 代数同态只需验证$$\mathrm{ad}[X,Y]=[\mathrm{ad}X,\mathrm{ad}Y]=\mathrm{ad}X\mathrm{ad}Y-\mathrm{ad}Y\mathrm{ad}X,$$即$$[[X,Y],Z]=[X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]],$$而这正是 $\mathfrak{g}$ 的 Jacobi 等式.

大 Ad 表示与小 ad 表示的关系

在有些文献中, 小 $\mathrm{ad}$ 表示是通过大 $\mathrm{Ad}$ 表示的微分得到的, 暂且记作 $\widetilde{\mathrm{ad}}$. 它满足如下交换图.

设 $X,Y$ 为 Lie 群 $G$ 上的左不变向量场, $X$ 的流$${\theta }_t=R_{\exp (tX)}.$$于是$$\begin{array}{rl}[X,Y]={\mathcal{L}}_{X}Y& =\frac{d}{dt}{|}_{t=0}(R_{\exp (tX)}{)}^{\ast }Y\\ & =\frac{d}{dt}{|}_{t=0}(R_{\exp (-tX)}{)}_{\ast }Y(\exp (tX))\\ & =\frac{d}{dt}{|}_{t=0}(R_{\exp (-tX)}{)}_{\ast }(L_{\exp (tX)}{)}_{\ast }Y(1)\\ & \text{(Y的左不变性)}\\ & =\frac{d}{dt}{|}_{t=0}\mathrm{Ad}(\exp (tX))Y(1)\\ & =\widetilde{\mathrm{ad}}(X)Y(1).\end{array}$$这说明 $\widetilde{\mathrm{ad}}$ 与我们用 $\mathrm{ad}X(Y)=[X,Y]$ 定义的 $\mathrm{ad}$ 是同样的.