用户: Jin1/Lie括号与Jacobi恒等式

Lie 代数的定义中内置了 Lie 括号. 对于一般的环, 如矩阵环, 其上 Lie 括号定义为$$[X,Y]=XY-YX.$$然而, 在其它场合我们见到类似的运算.

对于一个群, 其中的交换子定义为$$[x,y]=xy{x}^{-1}{y}^{-1}.$$

对于一个 $R$-代数 $A$, 定义 $A$ 上的导子为其上满足 Leibniz 法则$$d(ab)=d(a)\cdot b+a\cdot d(b)$$的 $R$-线性变换 $d$. 记 $\mathrm{Der}(A)$ 为 $A$ 上导子构成的 $R$-模. 设 $X,Y\in \mathrm{Der}(A)$, 那么它们的 Lie 括号$$[X,Y]=XY-YX$$也是导子. 这实际上使得 $\mathrm{Der}(A)$ 成为一个 Lie 环.

所有这些相似的运算之间存在着关系. 直观而言, 正如切向量是一个无穷小移动一样, 导子是一个无穷小变换.

正如所谓 “代数微扰法” 体现的那样, 代数上, 所谓无穷小不过是一个理想.

Lie 代数来自于 Lie 群在单位元处的切空间, 而 Lie 括号刻画了 Lie 群在单位元 “无穷小邻域” 中的乘法.

Lie 代数的定义中还要求了 Jacobi 恒等式$$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.$$