用户: Jin1/胞腔逼近定理

命题 0.1. 当 $m<n$ 时, ${\pi }_m({\mathbb{S}}^n)=1$ 是平凡群.

这个命题的证明思路是, 假设一个映射 $f:{\mathbb{S}}^m\to {\mathbb{S}}^n$ 不是满射, 那么可以从 ${\mathbb{S}}^n$ 抠掉一个点, 剩下的部分同胚于 ${\mathbb{R}}^n$. 而 ${\mathbb{R}}^n$ 是可缩的, 所以 $f$ 零伦.

于是, 我们只需证明任何映射 $f:{\mathbb{S}}^m\to {\mathbb{S}}^n$ 同伦于某个不满的映射. 这也是胞腔逼近定理的证明思路.

定义 0.2 (胞腔映射). 称 CW-复形之间的映射 $f:X\to Y$ 为 胞腔映射是指, 对任意 $n\ge 0$, $f$ 将 $X$ 的 $n$ 维骨架映射到 $Y$ 的 $n$ 维骨架之内, 即 $f(X^n)\subset Y^n\forall n.$

定理 0.3 (胞腔逼近定理). CW-复形之间的任何映射 $f:X\to Y$ 同伦于某个胞腔映射.

${\mathbb{S}}^n$ 作为 CW-复形只有一个 $0$ 维胞腔 $e^0$ 与一个 $n$ 维胞腔 $e^n$. 当 $m<n$ 时, 若映射 $f:{\mathbb{S}}^m\to {\mathbb{S}}^n$ 是胞腔映射, $f$ 只可能将 ${\mathbb{S}}^m$ 映射到那个 $0$ 维胞腔所在的点. 因此 ${\pi }_m({\mathbb{S}}^n)=1$ 是胞腔逼近定理的特例.

术语翻译

骨架 • 英文 skeleton

胞腔 • 英文 cell

胞腔映射 • 英文 cellular map

胞腔逼近定理 • 英文 cellular approximation theorem