用户: Jin1/朝花夕拾

我总是对以新的视角来解释一件熟悉的事情没有抵抗力.

1复数与 Clifford 代数

昨晚看一本书介绍 Clifford 代数, 提到了这样一句不起眼的事情, 说 $O(V,q)$ 在​$\mathrm{Cl}(V,q)$ 上诱导一个自同构.

我忽然想问自己, 对于最简单的 Clifford 代数, 这个自同构是什么样子. 最简单的 Clifford 代数对应 $V=\mathbb{R},q(x)=-x^2$, 此时 $\mathrm{Cl}(V,q)\simeq \mathbb{C}=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}i$. 嵌入映射 $V\to \mathrm{Cl}(V,q)\simeq \mathbb{C}$ 是 $x\mapsto xi$. 而 $O(V,q)$ 是 $O(1)=\{\pm 1\}$, 所以 $O(V,q)$ 作用在 $\mathbb{C}$ 上的方式就是复共轭.

对我来说, 这似乎给复共轭增添了一丝合理性.

2模张量积

$R$ 是交换环, 设 $A,B$ 是 $R$-模. 张量积 $A{\otimes }_{R}B$ 传统上定义为集合 $A\times B$ 上的自由 $R$-模商掉一些等价关系, 或通过泛性质来定义.

今天在 nlab 上看到了一个未曾设想的定义: $A{\otimes }_{R}B$ 是 $A\otimes R\otimes B\rightrightarrows A\otimes B$ 的余等化子, 两个映射分别为 $R$ 对 $A$ 和 $B$ 的作用.

(仔细想想好像也不值一提...)

3环的 2-范畴

4微分分次代数

微分分次代数是链复形范畴中的幺半群.