用户: Infinitecat/代数de Rham上同调/D(Z)值层

引理 0.1. 若 $\mathcal{A}$ 上有界, 则 ${\mathcal{A}}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}$ 上有界. 若 $d$ 为使得 $H_n(\mathcal{A})$ 不为 0 的最大的次数, 则 $d$ 也为使得 $H_n({\mathcal{A}}^{\mathrm{s}\mathrm{h}})$ 不为 0 的最大的次数.

命题 0.2. 设 $\mathcal{A}\in \mathcal{P}(X,D(\mathbb{Z})).$

(1)	若 ${\mathcal{A}}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}\simeq 0$, 则 $H_n(\mathcal{A}{)}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}\simeq 0,\forall n\in \mathbb{Z}.$
(2)	若 $\mathcal{A}$ 上有界, 且 $H_n(\mathcal{A}{)}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}\simeq 0,\forall n\in \mathbb{Z}$, 则 ${\mathcal{A}}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}\simeq 0.$

证明. 待证.

$\square$

 

从而我们有下面的推论.

推论 0.3. 设 $\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为 $\mathcal{P}(X,D(\mathbb{Z}))$ 中的映射.

(1)	若 ${\mathcal{F}}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}\to {\mathcal{G}}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}$ 为等价, 则 $H_n(\mathcal{F}{)}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}\to H_n(\mathcal{G}{)}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}$ 为等价, $\forall n\in \mathbb{Z}.$
(2)	若 $\mathcal{F},\mathcal{G}$ 上有界, 且 $H_n(\mathcal{F}{)}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}\to H_n(\mathcal{G}{)}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}$ 为等价, $\forall n\in \mathbb{Z}$, 则 ${\mathcal{F}}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}\to {\mathcal{G}}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}$ 为等价.

推论 0.4. 设 $\mathcal{F}\to \mathcal{G}$ 为 $\mathcal{P}(X,D(\mathbb{Z}))$ 中上有界预层之间的映射. 则 $\mathcal{G}\simeq {\mathcal{F}}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}$ 当且仅当 $\mathcal{G}$ 为层, 且 $H_n(\mathcal{F}{)}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}\to H_n(\mathcal{G}{)}^{\mathrm{s}\mathrm{h}},\forall n\in \mathbb{Z}$.

命题 0.5. 设 ${\mathcal{I}}_{\bullet }$ 为同调上有界的内射 Abel 群层构成的链复形, 则 $|{\mathcal{I}}_{\bullet }|\in \mathcal{P}(X,D(\mathbb{Z}))$ 为层. 这里, 我们如下定义$$|{\mathcal{I}}_{\bullet }|(U):=|\mathcal{I}(U{)}_{\bullet }|.$$

推论 0.6. 设 ${\mathcal{F}}_{\bullet }$ 为预层构成的上有界复形. 任意选择一个映到由内射预层构成的上有界复形的映射 ${\mathcal{F}}_{\bullet }\to {\mathcal{I}}_{\bullet }$, 且使得 $H_n(|{\mathcal{F}}_{\bullet }|{)}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}\to H_n(|{\mathcal{I}}_{\bullet }|{)}^{\mathrm{s}\mathrm{h}},\forall n\in \mathbb{Z}$, 则 $|{\mathcal{I}}_{\bullet }|\simeq |{\mathcal{F}}_{\bullet }{|}^{\mathrm{s}\mathrm{h}}$.

定理 0.7. 设 $X$ 为局部可缩拓扑空间, 则对任意 Abel 群 $A$, 奇异上同调和层上同调一致: $$H_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}}^{\ast }(X;A)\cong H^{\ast }(X,A).$$