用户: Infinitecat/一些笔记3/投射模谱

命题 0.1. $\mathcal{C}$ 是一个有左完备 t-结构的稳定无穷范畴, 设 $P\in {\mathcal{C}}_{\ge 0}$, 则下面的命题等价:

(1)	$P\in {\mathcal{C}}_{\ge 0}$ 投射.
(2)	$\forall Q\in {\mathcal{C}}_{\ge 0}$, ${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^1(P,Q)=0.$
(3)	$\forall Q\in {\mathcal{C}}_{\ge 0}$, $\forall i>0$, ${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,Q)=0.$
(4)	$\forall Q\in {\mathcal{C}}^{♡}$, $\forall i>0$, ${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,Q)=0$.
(5)	纤维列 $N^{\prime }\to N\to N^{\prime \prime }$, 其中 $N^{\prime },N,N^{\prime \prime }\in {\mathcal{C}}_{\ge 0}$, 诱导了一个满射 ${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^0(P,N)\twoheadrightarrow {\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^0(P,N^{\prime \prime })$.

证明:
(3)$⟹$ (2). 显然.
(2)$⟹$ (3). $\forall i>0$, 有 $i-1\ge 0$, 从而 $Q[i-1]\in {\mathcal{C}}_{\ge 0}$, 因此$${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,Q)={\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^1(P,Q[i-1])=0.$$
(3) $⟹$ (4). 显然.
(4) $⟹$ (2). 首先注意到有纤维列 $({\pi }_{n}Q)[n]\to {\tau }_{\le n}Q\to {\tau }_{\le n-1}Q$. 从而有: $${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,({\pi }_{n}Q)[n])\to {\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,{\tau }_{\le n}Q)\to {\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,{\tau }_{\le n-1}Q)\to {\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^{i+1}(P,({\pi }_{n}Q)[n]).$$又 ${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^{n+i}(P,{\pi }_{n}Q)={\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,({\pi }_{n}Q)[n])$, 则若有 $n>-i$, 可得到 ${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^{n+i}(P,{\pi }_{n}Q)=0$, 从而有: $${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,{\tau }_{\le n}Q)\cong {\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,{\tau }_{\le n-1}Q).$$由于 $\mathcal{C}$ 是左完备的, 有 $Q=\underleftarrow{\text{lim}}{\tau }_{\le n}Q$, 可得到: $${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,Q)=\underleftarrow{\text{lim}}{\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,{\tau }_{\le n}Q)={\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,{\tau }_{\le n}Q).(对n>-i)$$若 $i>0$, 我们可以得到: $${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,Q)={\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^i(P,{\tau }_{\le n}Q)=0.$$

(2) $⟹$ (5). 这是因为 ${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^0(P,N)\to {\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^0(P,N^{\prime \prime })\to {\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^1(P,N^{\prime })=0.$
(5) $⟹$ (2). 我们知道 $\eta \in {\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^1(P,Q)$ 对应一个纤维列 $Q\to Q^{\prime }\to P$, 其中 $Q,Q^{\prime },P\in {\mathcal{C}}_{\ge 0}.$ 由 (5) 可得: $${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^0(P,Q^{\prime })\twoheadrightarrow {\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^0(P,P),$$

即 $Q^{\prime }\to P$ 有截面 $P\to Q^{\prime }$. 从而 ${\text{Ext}}_{\mathcal{C}}^1(P,Q)=0.$

(1) $⟺$ (2). [尚需证明].

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