用户: Infinitecat/一些笔记3/可表现无穷范畴

定义 0.1. 设 $\mathcal{C}$ 为可表现无穷范畴.

•	称 $X\in \mathcal{C}$ 为紧投射的, 若余可表函子 ${\text{Map}}_{\mathcal{C}}(X,-)$ 与筛余极限交换.
•	称 $\mathcal{C}$ 为投射生成的, 若存在 $\mathcal{C}$ 的一族紧投射对象 $\left\{X_{\alpha }\right\}$, 使得 $\mathcal{C}$ 由 $\left\{X_{\alpha }\right\}$ 在余极限下生成. 在该情况下, 我们称 $\left\{X_{\alpha }\right\}$ 为 $\mathcal{C}$ 的紧投射生成元.

定义 0.2. 一个无穷范畴 $\mathcal{C}$ 是可表现的, 若 $\mathcal{C}$ 可达且 $\mathcal{C}$ 有小余极限.

定理 0.3 (伴随函子定理). 设 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是可表现无穷范畴之间的函子.

(1)	$F$ 有右伴随 $⟺$ $F$ 保小余极限.
(2)	$F$ 有左伴随 $⟺$ $F$ 保小极限且 $F$ 可达.

命题 0.4. 设 $G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是可表现无穷范畴之间的函子, 且 $G$ 保小极限, 小筛余极限,保守, 则:

(1)	$G$ 有左伴随 $F:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$.
(2)	$F({\mathcal{D}}^{\text{cp}})\subseteq {\mathcal{C}}^{\text{cp}}$.
(3)	设 $\left\{D_{\alpha }\right\}$ 为 $\mathcal{D}$ 的紧投射生成元, 则 $\left\{F{D}_{\alpha }\right\}$ 为 $\mathcal{C}$ 的紧投射生成元.
(4)	若 $\mathcal{D}$ 投射生成, 则 $\mathcal{C}$ 投射生成.

证明:

(2)	设 $X\in {\mathcal{D}}^{\text{cp}}$, 需证 $FX\in \mathcal{C}$ 是紧投射的, 即 ${\text{Map}}_{\mathcal{C}}(FX,-)$ 保筛余极限.