用户: Hui/基本概念

设 $(M,g)$ 和 $(N,h)$ 为两个黎曼流形, $\varphi :M\to N$ 为一光滑映射. 微分映射 $d\varphi$ 可视为 $A^1({\varphi }^{-1}TN)=\Gamma (T^{\ast }(M)\otimes {\varphi }^{-1}TN)$ 中的元素. 则 $d\varphi$ 在 $x$ 点处的范数 $|d\varphi {|}_x$ 可定义为线性映射 $d\varphi {|}_x:(T_{x}M,g)\to (T_{\varphi (x)}N,h)$ 的 Hilbert-Schmidt 范数. 若取 $x$ 和 $\varphi (x)$ 附近的局部坐标为 $(x^i)$ 和 $(u^{\alpha })$, 则$$|d\varphi {|}^2=g^{ij}{h}_{\alpha \beta }(\varphi ){\varphi }_i^{\alpha }{\varphi }_j^{\beta },$$其中 ${\varphi }_i^{\alpha }=\frac{\partial {\varphi }^{\alpha }}{\partial x^i}$. 定义 $\varphi$ 的能量密度为$$e(\varphi ):=\frac{1}{2}|d\varphi {|}^2.$$定义 $\varphi$ 的能量泛函为$$E(\varphi ):={\int }_{M}e(\varphi )d{v}_g.$$(1)

练习 0.1. $|d\varphi {|}^2=⟨{\varphi }^{\ast }h,g⟩.$

注 0.2. 显然 $E(\varphi )\ge 0$, 且 $E(\varphi )=0$ 当且仅当 $\varphi$ 为常数.

注 0.3. 给定 $v$, 可定义一族映射 ${\varphi }_t$ 使得 ${\varphi }_0=\varphi$, $\frac{d{\varphi }_t}{dt}{|}_{t=0}=v$. 比如, 可以取 ${\varphi }_t(x)={\exp }_{\varphi (x)}(tv)$, 则$$D_{v}E(\varphi )={\frac{dE({\varphi }_t)}{dt}|}_{t=0}.$$

命题 0.4 (第一变分公式). $${\frac{dE({\varphi }_t)}{dt}|}_{t=0}=-{\int }_M⟨v,\tau (\varphi )⟩d{v}_g,$$其中 $\tau (\varphi ):=-d^{\ast }d\varphi =\mathrm{tr}\nabla d\varphi$ 称为 $\varphi$ 的张力场.

证明. 定义 $\Phi :M\times \mathbb{R}\to N$ 为 $\Phi (x,t):={\varphi }_t(x).$ 那么$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}E({\varphi }_t)=& \frac{1}{2}{\int }_M\frac{\partial }{\partial t}⟨d{\varphi }_t,d{\varphi }_t⟩d{v}_g\\ =& {\int }_M⟨{\nabla }_{\frac{\partial }{\partial t}}d{\varphi }_t,d{\varphi }_t⟩,\end{array}$$其中 $d{\varphi }_t$ 为 (固定 $t$ ) $\Phi$ 沿着 $M$ 的微分, 且 ${\nabla }_{\frac{\partial }{\partial t}}$ 为 $T^{\ast }(M\times \mathbb{R})\otimes {\varphi }^{-1}TN$ 的共变微分. 对于任意 $X\in TM$, 我们有$$\begin{array}{rl}({\nabla }_{\frac{\partial }{\partial t}}d{\varphi }_t)(X)=& {\nabla }_{\frac{\partial }{\partial t}}^{\Phi }d{\varphi }_{t}X-d{\varphi }_t({\nabla }_{\frac{\partial }{\partial t}}X)\\ =& {\nabla }_X^{\Phi }d\Phi (\frac{\partial }{\partial t})+d\Phi ([\frac{\partial }{\partial t},X])-0\\ =& {\nabla }_X^{\Phi }(\frac{\partial \Phi }{\partial t}).\end{array}$$于是$$({\nabla }_{\frac{\partial }{\partial t}}d{\varphi }_t){|}_{t=0}=\nabla v.$$注意到在 $A^0({\varphi }^{-1}TN)$ 上 $\nabla$ 就是微分 $d$ , 由 Stokes 公式可得$$\begin{array}{rl}{\frac{d}{dt}E({\varphi }_t)|}_{t=0}=& {\int }_M⟨dv,d\varphi ⟩d{v}_g\\ =& -{\int }_M⟨v,d^{\ast }d\varphi ⟩d{v}_g.\end{array}$$

$\square$

定义 0.5. 称 $\varphi$ 为调和映射若其为能量泛函 $E(\cdot )$ 的临界点, 即$$\tau (\varphi )=0.$$

严格来说, 为了使积分 (1) 有限, 应将积分区域 $M$ 换成任意的有界区域 $\Omega$ .

练习 0.6. 在局部坐标下, 我们有$$(\nabla d\varphi {)}_{ij}^{\alpha }=\frac{{\partial }^2{\varphi }^{\alpha }}{\partial x^i\partial x^j}-{\Gamma }_{ij}^k{\varphi }_k^{\alpha }+{\tilde{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }{\varphi }_i^{\beta }{\varphi }_j^{\gamma }$$(2)以及$$\tau (\varphi {)}^{\alpha }=\Delta {\varphi }^{\alpha }+{\tilde{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }{\varphi }_i^{\beta }{\varphi }_j^{\gamma }{g}^{ij}.$$所以 $\tau$ 是一个半线性椭圆方程组算子.

例 0.7. 若 $M$ 为圆周 ${\mathbb{S}}^1$, 则映射 $\varphi :{\mathbb{S}}^1\to (N,h)$ 为调和的当且仅当其为弧长参数化的测地线.

例 0.8. 恒等映射 $I:(M,g)\to (M,g)$ 显然是调和的.

例 0.9. 若 $N=\mathbb{R}$, 则调和映射 $f:(M,g)\to \mathbb{R}$ 就是调和函数. 此情况下也可定义上调和函数、下调和函数的概念.

定义 0.10. 给定映射 $\varphi :(M,g)\to (N,h)$, 则称二次型 $\nabla d\varphi$ 为 $\varphi$ 的第二基本形式.

注 0.11. 因为 $d\varphi \in A^1({\varphi }^{-1}TN)$, 则 $M$ 的 Levi-Civita 联络和 $N$ 的 Levi-Civita 联络诱导了一个 $A^1({\varphi }^{-1}TN)$ 上的联络 $\nabla$.

命题 0.12. 由于 Levi-Civita 联络是无挠的, $\nabla d\varphi$ 是对称的.

推论 0.13. $1$-形式 $d\varphi \in A^1({\varphi }^{-1}TN)$ 是闭的.

推论 0.14. $\varphi$ 为调和的当且仅当 $d\varphi$ 为调和 $1$-形式.

例 0.15. 若 $\varphi :(M,g)\to (N,h)$ 为黎曼浸入, 则$${\nabla }_X^{N}Y={\nabla }_X^{M}Y+\nabla d\varphi (X,Y),X,Y\in TM.$$

命题 0.16. 一个黎曼浸入为调和的当且仅当其是极小的 (minimal).

命题 0.17 (复合公式). 给定 $M\stackrel{\varphi }{\to }N\stackrel{\psi }{\to }P$, 则$$\begin{array}{r}\nabla d(\psi \circ \varphi )=d\psi \circ \nabla d\varphi +\nabla d\psi (d\varphi ,d\varphi ),\\ \tau (\psi \circ \varphi )=d\psi \circ \tau (\varphi )+\mathrm{tr}\nabla d\psi (d\varphi ,d\varphi ).\end{array}$$(3)

证明. $$\begin{array}{rl}\nabla d(\psi \circ \varphi )(X,Y)=& {\nabla }_X(d\psi \cdot d\varphi \cdot Y)-d(\psi \circ \varphi )\cdot {\nabla }_{X}Y\\ =& ({\nabla }_{d\varphi \cdot X}d\psi )d\varphi \cdot Y+d\psi \circ {\nabla }_X(d\varphi \cdot Y)-d\psi \cdot d\varphi \cdot {\nabla }_{X}Y\\ =& \nabla d\psi (d\varphi \cdot X,d\varphi \cdot Y)+d\psi \cdot \nabla d\varphi (X,Y).\end{array}$$

$\square$

注意, 一般来说两个调和映射的复合不再是调和映射了.

命题 0.18. 下列说法互相等价:

1.	$\varphi$ 为全测地的 (即 $\nabla d\varphi =0$);
2.	$\varphi$ 为保联络的;
3.	$\varphi$ 将 $M$ 的测地线映为 $N$ 中的测地线.

定理 0.19 (Ishihara, [Ish79]). 映射 $\varphi :M\to N$ 为

1.	全测地的当且仅当其将凸函数芽映为凸函数芽;
2.	调和的当且仅当其将凸函数芽映为次调和函数芽.

注 0.20. 一个函数 $f:U\subset N\to \mathbb{R}$ 称为凸 (resp. 严格凸) 若 $\nabla df\ge 0$ (resp. $\nabla df>0$).

参考文献

[EL83]	James Eells and Luc Lemaire. Selected Topics in Harmonic Maps, 1983.
[Ish79]	Toru Ishihara. A mapping of Riemannian manifolds which preserves harmonic functions. J. Math. Kyoto Univ., 19:215–229, 1979.