Hurwitz 数与 Z(Sd)

在这一章中, 我们要做 Hurwitz 问题的另一个 translation. 这一章我们主要关心不连通的 Hurwitz 数. 我们从简单的情况开始, 最后导出 Burnside 公式. 这个公式说明了, Hurwitz 理论与 $S_d$ 的理论等价.

0引言

我们先回顾一下关于对称群 $S_d$ 的一些定义和结果.

定义 0.1. $S_d$ 的类代数是群环 $\mathbb{C}[S_d]$ 的中心, 记作: $$\mathcal{Z}\mathbb{C}\left[S_d\right]=\left\{x\in \mathbb{C}\left[S_d\right]\mid yx=xy,\forall y\in \mathbb{C}\left[S_d\right]\right\}$$

定义 0.2. 对于 $\lambda ⊢d$ (即 $\lambda$ 是 d 的一个分拆) , 记 $C_{\lambda }\in \mathbb{C}[S_d]$ 为所有轮型为 $\lambda$ 的置换的和.

注 0.3. 对于 $C_{\lambda }$, 我们有以下结论:

1. 轮型完全决定共轭类.

2. $C_{\lambda }\in \mathcal{Z}\mathbb{C}[S_d]$

3. $\mathcal{Z}\mathbb{C}\left[S_d\right]={⨁}_{\lambda ⊢d}{⟨C_{\lambda }⟩}_{\mathbb{C}}$

定理 0.4 (Maschke). 类代数 $\mathcal{Z}\mathbb{C}[S_d]$ 是一个半单代数. 换句话说, 存在一组幂等基 $\left\{{\mathrm{e}}_{{\rho }_1},\dots ,{\mathrm{e}}_{{\rho }_n}\right\}$ (其中 ${\rho }_i$ 是 $S_d$ 的所有不可约表示) , 也就是说: $${\mathrm{e}}_{{\rho }_i}\cdot {\mathrm{e}}_{{\rho }_j}=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}_{{\rho }_i}& \text{ if }{\mathrm{e}}_{{\rho }_i}={\mathrm{e}}_{{\rho }_j}\\ 0& \text{ otherwise. }\end{array}$$(1)并且, 我们能显式地给出基变换公式: $${\mathrm{e}}_{\rho }=\frac{\dim \rho }{d!}\sum _{\lambda }{\chi }_{\rho }(\lambda )C_{\lambda }{C}_{\lambda }=\left|C_{\lambda }\right|\sum _{\rho }\frac{{\chi }_{\rho }(\lambda )}{\dim \rho }{\mathrm{e}}_{\rho }$$(2)其中, 对 $\lambda$ 求和是遍历所有 $\lambda ⊢d$ 求和, 对 $\rho$ 求和是遍历所有 $S_d$ 的不可约表示.

注 0.5. 这个基变换公式很重要, 将在最后一步起到很大的作用.

1亏格 0

我们先从亏格为 0 开始研究. 对此, 我们给出第一个命题.

命题 1.1. 设 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 为 $d$ 的分拆, $C_{{\lambda }_i}\in \mathcal{Z}\mathbb{C}[S_d]$ 是所有轮型为 ${\lambda }_i$ 的置换的和. 那么对非连通的亏格 0 的 Hurwitz 数, 我们有: $$H_{h\stackrel{d}{\to }0}^{\bullet }\left({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\right)=\frac{1}{d!}\left[C_e\right]C_{{\lambda }_n}\cdots C_{{\lambda }_2}{C}_{{\lambda }_1}$$(3)其中, $\left[C_e\right]C_{{\lambda }_n}\dots C_{{\lambda }_2}{C}_{{\lambda }_1}$ 表示乘积 $C_{{\lambda }_n}\cdots C_{{\lambda }_2}{C}_{{\lambda }_1}$ 展开后 $C_e=e$ 的系数. 亏格 h 由 Riemann-Hurwitz 公式给出.

提问 1.2. $\left[C_e\right]C_{{\lambda }_n}\dots C_{{\lambda }_2}{C}_{{\lambda }_1}$ 的具体含义?

回答 1.3. 我们通过一个例子来具体说明: 在 $\mathcal{Z}\mathbb{C}[S_3]$ 中, 我们有: $$\begin{array}{rl}{C}_{(3)}{C}_{(3)}& =((123)+(132))((123)+(132))\\ & =(123)(132)+(132)(123)+(132)(132)+(123)(123)\\ & =2e+(123)+(132)=2C_e+C_{(3)}\end{array}$$从而 $[C_e]C_{(3)}{C}_{(3)}=2$.

提问 1.4. 为什么从亏格 0 开始?

回答 1.5. 因为亏格 0 时, 底空间的基本群最简单, 方便我们关注分歧本身的信息.

提问 1.6. 这个公式给出了什么信息?

回答 1.7. 我们通过 $\mathcal{Z}\mathbb{C}[S_d]$ 中的元素展示了分歧的信息.

证明. 我们知道: $$H_{h\stackrel{d}{\to }0}^{\bullet }\left({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\right)=\frac{|M^{\bullet }|}{d!}$$

其中, $M^{\bullet }$ 是型为 $\left(0,d,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\right)$ 的单值表示的集合. 从而, 我们只需要证明, $|M^{\bullet }|=\left[C_e\right]C_{{\lambda }_n}\dots C_{{\lambda }_2}{C}_{{\lambda }_1}$

${\mathbb{C}\mathbb{P}}^1\setminus \left\{b_1,\dots ,b_n\right\}$ 的基本群是 $n-1$ 个生成元生成的自由群. 但为了用起来方便, 我们可以对称地写成: $${\pi }_1\left({\mathbb{C}\mathbb{P}}^1\setminus \left\{b_1,\dots ,b_n\right\}\right)\cong ⟨{\rho }_1,\dots ,{\rho }_n|{\rho }_1{\rho }_2\cdots {\rho }_n⟩$$(4)

其中, ${\rho }_i$ 是绕 $b_i$ 的小环路的同伦类的一个代表元. 那么, 一个单值表示也就对应一个 ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n\in S_d$ 的选择, 使得 ${\sigma }_i$ 有轮型 ${\lambda }_i$, 并且 ${\sigma }_n{\sigma }_{n-1}\cdots {\sigma }_1=e$.

我们将这个过程类比为多项式相乘求某个幂次的系数的过程, 从而考虑 $C_{{\lambda }_n}\cdots C_{{\lambda }_2}{C}_{{\lambda }_1}$, 从而单值表示的个数就是这个乘积展开后 $C_e$ 的系数.

$\square$

例 1.8. $H_{0\stackrel{3}{\to }0}\left((3),(3)\right)=\frac{1}{3!}[C_e]C_3{C}_3=2$

2亏格和换位子

命题 2.1. 对 Hurwitz 数 $H_{1\stackrel{d}{\to }1}^{\bullet }\left(\varnothing \right)$, 我们有: $$H_{1\stackrel{d}{\to }1}^{\bullet }\left(\varnothing \right)=\frac{1}{d!}\left[C_e\right]\sum _{\lambda ⊢d}|\xi (\lambda )|C_{\lambda }^2$$(5)其中, $|\xi (\lambda )|$ 是任意一个轮型为 $\lambda$ 的置换的中心化子的元素个数.

提问 2.2. 这里的 $|\xi (\lambda )|$ 是良定的吗?

回答 2.3. 是的. 我们对此给出证明:

证明. 对轮型为 $\lambda$ 的两个置换 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$, 存在 $a\in S_d$, 使得 ${\sigma }_2=a^{-1}{\sigma }_{1}a$, 对 $\forall x\in \xi ({\sigma }_1)$, 有 $a^{-1}xa\in \xi ({\sigma }_2)$, 从而 $|\xi ({\sigma }_1)|\le |\xi ({\sigma }_2)|$, 同理有, $|\xi ({\sigma }_2)|\le |\xi ({\sigma }_1)|$, 从而 $|\xi ({\sigma }_1)|=|\xi ({\sigma }_2)|$.

$\square$

提问 2.4. 这个式子有什么信息?

回答 2.5. 这个式子记录了亏格本身对基本群的影响.

证明. 一个型为 $(1,d,\varnothing )$ 的单值表示对应一个 ${\sigma }_1,{\sigma }_2\in S_d$ 的选择, 使得 ${\sigma }_2^{-1}{\sigma }_1^{-1}{\sigma }_2{\sigma }_1=e$. 我们这样来计数: 先固定 ${\sigma }_1\in S_d$, 然后选 ${\sigma }_2$ 来给出一个 ${\hat{\sigma }}_1={\sigma }_2^{-1}{\sigma }_1^{-1}{\sigma }_2$, 我们先考虑使 ${\hat{\sigma }}_1{\sigma }_1=e$ 的 ${\hat{\sigma }}_1$ 和 ${\sigma }_1$ 的个数, 再考虑一个 ${\hat{\sigma }}_1$ 对应的 ${\sigma }_2$ 的个数. 由于 ${\hat{\sigma }}_1$ 和 ${\sigma }_1$ 在同一个共轭类里, 从而有相同的轮型, 从而对于轮型为 $\lambda$ 的 ${\sigma }_1$ 的 ${\hat{\sigma }}_1$ 和 ${\sigma }_1$ 的对数就是 $\left[C_e\right]C_{\lambda }^2$

我们再来考虑 ${\sigma }_2$ 的个数. ${\sigma }_2$ 与 ${\sigma }_2^{\prime }$ 给出相同的 ${\hat{\sigma }}_1$ 等价于 ${\sigma }_2^{-1}{\sigma }_2\in \xi ({\sigma }_1)$, 先选定 ${\sigma }_2$, 那么 ${\sigma }_2^{\prime }$ (包括 ${\sigma }_2$ 本身) 与 $\xi ({\sigma }_1)$ 中的元素一一对应.

从而我们有 $|M^{\bullet }|=\left[C_e\right]{\sum }_{\lambda ⊢d}|\xi (\lambda )|C_{\lambda }^2$.

$\square$

注 2.6. 实际上, 我们这里证明了, 对 $\forall {\hat{\sigma }}_1{\sigma }_1\in C_{\lambda }^2$,${\sigma }_2$ 的个数都是 $|\xi (\lambda )|$.

定义 2.7. 对于固定的正整数 $d$, 我们定义: $$\mathfrak{K}:=\sum _{\lambda ⊢d}|\xi (\lambda )|C_{\lambda }^2\in \mathcal{Z}\mathbb{C}\left[S_d\right]$$(6)

提问 2.8. 为什么要定义 $\mathfrak{K}$, 它表示了什么?

回答 2.9. $\mathfrak{K}$ 实际上是 $S_d$ 中所有换位子的和.

命题 2.10. 对于一般的情况, 我们有: $$H_{h\stackrel{d}{\to }g}^{\bullet }\left({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\right)=\frac{1}{d!}\left[C_e\right]{\mathfrak{K}}^g{C}_{{\lambda }_n}\cdots C_{{\lambda }_2}{C}_{{\lambda }_1}$$(7)其中亏格 $h$ 由 Riemann-Hurwitz 公式决定.

证明. 我们回忆第 5 章内容. 一个戳了 $n$ 个洞的亏格为 $g$ 的曲面的基本群可以表示成: $$\begin{array}{l}{\pi }_1\left(C_g\setminus \left\{b_1,\dots ,b_n\right\}\right)\\ =⟨{\rho }_1,\dots ,{\rho }_n,{\alpha }_1,{\beta }_1,\dots ,{\alpha }_g,{\beta }_g\mid {\rho }_1\cdots {\rho }_n\left[{\alpha }_1,{\beta }_1\right]\cdots \left[{\alpha }_g,{\beta }_g\right]⟩\end{array}$$其中 ${\rho }_i$ 是绕 $b_i$ 的小环路的同伦类的代表元. 记换位子 $[\alpha ,\beta ]:={\alpha }^{-1}{\beta }^{-1}\alpha \beta$.

我们仍然通过单值表示来进行计数. 一个型为 $\left(g,d,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\right)$ 的单值表示对应一个 ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n,{\mu }_1,\dots ,{\mu }_g,v_1,\dots ,v_g\in S_d$ 的选择, 使得每个 ${\sigma }_i$ 的轮型为 ${\lambda }_i$, 并且 $\left[{\mu }_g,v_g\right]\cdots \left[{\mu }_1,v_1\right]{\sigma }_n{\sigma }_{n-1}\cdots {\sigma }_1=e$. 通过之前的证明, 我们容易知道, 其个数为 $\left[C_e\right]{\mathfrak{K}}^g{C}_{{\lambda }_n}\cdots C_{{\lambda }_2}{C}_{{\lambda }_1}$, 这就完成了证明.

$\square$

3Burnside 公式

定理 3.1. 固定正整数 $d$ 和 $m$ 个分拆 ${\lambda }_i⊢d$. 用 $\rho$ 表示 $S_d$ 的一个不可约分拆, 关于指标 $\rho$ 的求和理解为遍历所有不可约表示, 那么我们有: $$H_{h\stackrel{d}{\to }g}^{\bullet }\left({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\right)=\sum _{\rho }{\left(\frac{\dim \rho }{d!}\right)}^{2-2g}\prod _{j=1}^m\frac{\left|C_{{\lambda }_j}\right|{\chi }_{\rho }\left({\lambda }_j\right)}{\dim \rho }$$(8)

提问 3.2. 我们已经有公式 (5) 了, 为什么还要给出这个公式?

回答 3.3. 在公式 (5) 中, 我们有比较简单的输入, 但我们是在对非常高维的代数中的向量做乘法. 而在 (6) 中, 我们的输入比较复杂, 但是乘法只是普通的实数乘法. 我们改变了问题的复杂之处.

证明. 我们先考虑 $\mathfrak{K}\in \mathcal{Z}\mathbb{C}[S_d]$, 用基变换公式将其写成半单基的形式: $$\begin{array}{rl}\mathfrak{K}& =\sum _{\lambda }|\xi (\lambda )|C_{\lambda }^2\\ & =\sum _{\lambda }|\xi (\lambda )|{\left(\sum _{\rho }\frac{\left|C_{\lambda }\right|{\chi }_{\rho }(\lambda )}{\dim \rho }{e}_{\rho }\right)}^2\\ & =\sum _{\lambda }|\xi (\lambda )|\sum _{\rho }{\left(\frac{\left|C_{\lambda }\right|{\chi }_{\rho }(\lambda )}{\dim \rho }\right)}^2{e}_{\rho }\\ & =\sum _{\rho }\frac{1}{(\dim \rho {)}^2}\left(\sum _{\lambda }|\xi (\lambda )|{\left|C_{\lambda }\right|}^2{\chi }_{\rho }(\lambda {)}^2\right)e_{\rho }\\ & =\sum _{\rho }\frac{d!}{(\dim \rho {)}^2}\left(\sum _{\lambda }\left|C_{\lambda }\right|{\chi }_{\rho }(\lambda {)}^2\right)e_{\rho }\\ & =\sum _{\rho }\frac{d!}{(\dim \rho {)}^2}\left(\sum _{\sigma \in S_d}{\chi }_{\rho }(\sigma {)}^2\right)e_{\rho }\\ & =\sum _{\rho }{\left(\frac{d!}{\dim \rho }\right)}^2{e}_{\rho }\end{array}$$

(10) 到 (11) 我们用到了 $|C_{\lambda }||\xi (\lambda )|=d!$, (12) 中为 ${\chi }_{\rho }$ 和自己的内积的 $d!$ 倍.

下面我们考虑乘积: $$\begin{array}{rl}{C}_{{\lambda }_m}\cdots C_{{\lambda }_1}& =\left(\sum _{\rho }\frac{\left|C_{{\lambda }_m}\right|{\chi }_{\rho }\left({\lambda }_m\right)}{\dim \rho }{e}_{\rho }\right)\cdots \left(\sum _{\rho }\frac{\left|C_{{\lambda }_1}\right|{\chi }_{\rho }\left({\lambda }_1\right)}{\dim \rho }{e}_{\rho }\right)\\ & =\sum _{\rho }\prod _{j=1}^m\left(\frac{\left|C_{{\lambda }_j}\right|{\chi }_{\rho }\left({\lambda }_j\right)}{\dim \rho }\right)e_{\rho }\end{array}$$

组合两者, 我们就得到: $$\begin{array}{rl}{H}_{h\to g}^{\bullet }\left({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\right)& =\frac{1}{d!}\left[C_e\right]{\mathfrak{K}}^g{C}_{{\lambda }_n}\dots C_{{\lambda }_2}{C}_{{\lambda }_1}\\ & =\frac{1}{d!}\left[C_e\right]\sum _{\rho }{\left(\frac{d!}{\dim \rho }\right)}^{2g}\prod _{j=1}^m\left(\frac{\left|C_{{\lambda }_j}\right|{\chi }_{\rho }\left({\lambda }_j\right)}{\dim \rho }\right)e_{\rho }\end{array}$$

再由基变换公式: $$e_{\rho }=\frac{\dim \rho }{d!}\sum _{\lambda }{\chi }_{\rho }(\lambda )C_{\lambda }$$(9)

我们只需取其 $C_e$ 的系数为$$\frac{\dim \rho }{d!}{\chi }_{\rho }(e)=\frac{{(\dim \rho )}^2}{d!}$$(10)

就得到了 Burnside 公式.

$\square$

例 3.4. 下面我们计算 $H_{1\stackrel{3}{\to }0}\left((3),(2,1{)}^4\right)$, 并回顾这个证明. 在这个情况下, 由于有一个完全分歧的点, 所有的单值表示都是连续的, 从而 $H=H^{\bullet }$.

利用如下特征标表: $$\begin{array}{cccc}{S}_3& C_e& C_{(2,1)}& C_{(3)}\\ {\rho }_1& 1& 1& 1\\ {\rho }_{-1}& 1& -1& 1\\ {\rho }_S& 2& 0& 1\end{array}$$

我们有: $$\begin{array}{rl}{H}_{1\stackrel{3}{\to }0}\left((3),(2,1{)}^4\right)& =\frac{1}{6}\left[C_e\right]C_{(3)}{C}_{(2,1)}^4\\ & =\frac{1}{6}\left[C_e\right]\left(2\cdot 3^4{\mathrm{e}}_1+2\cdot (-3{)}^4{\mathrm{e}}_{-1}\right)\\ & =\frac{1}{6}\left(\frac{2\cdot 3^4}{6}+\frac{2\cdot 3^4}{6}\right)=9\end{array}$$

例 3.5. 最后, 我们计算如下 3 阶不连续 Hurwitz 数作为结束: $$H_{3g-2+a+b\stackrel{3}{\to }g}^{\bullet }\left((3{)}^a,(2,1{)}^{2b}\right)$$

$b\ne 0$ 时: $$\begin{array}{rl}{H}^{\bullet }& =\sum _{\rho }{\left(\frac{\dim \rho }{d!}\right)}^{2-2g}\prod _{j=1}^{a+2b}\frac{\left|C_{{\lambda }_j}\right|{\chi }_{\rho }\left({\lambda }_j\right)}{\dim \rho }\\ & =\frac{1}{6^{2-2g}}2\times 2^a\times 3^{2b}\\ & =2^{a+2g-1}{3}^{2b+2g-2}\end{array}$$$b=0$ 时: $$\begin{array}{rl}{H}^{\bullet }& =\sum _{\rho }{\left(\frac{\dim \rho }{d!}\right)}^{2-2g}\prod _{j=1}^a\frac{\left|C_{{\lambda }_j}\right|{\chi }_{\rho }\left({\lambda }_j\right)}{\dim \rho }\\ & =2^{a+2g-1}{3}^{2g-2}+{\left(\frac{2}{6}\right)}^{2-2g}\times {\left(\frac{2}{2}\right)}^a\\ & =3^{2g-2}(2^{a+2g-1}+1)\end{array}$$