用户: Fyx1123581347/类域论/整体类域论/互反律

对有限 Glois 扩张 $L / K$ , 有 $G a l (L_{w} / K_{v}) ≃ D (w)$ , 对 Abel 扩张, 局部类域论给出了同态 $ϕ_{v} : K_{v}^{\times} \to D (w) \subset G$ 并且这个同态仅与 $v$ 相关. 我们因此能够定义 $ϕ_{L / K} : I_{K} ⟶ G a l (L / K)$ $ϕ_{L / K} (a) = v \prod ϕ_{v} (a_{v}) .$ 因为对几乎所有 $v, a_{v} \in O_{v}$ , 且 $v$ 非分歧, 故右边的乘积是有限的.

定理 0.1. (a) 若 $L / K$ 为有限 Abel 扩张, 则 $ϕ_{L / K}$ 在主伊代尔上取值为 $1$ .
(b) 若 $L / K$ 为有限 Galois 扩张, 对 $c \in B r (L / K)$ , $i n v_{L / K} c = 0$ .

这个定理将蕴含互反律: (a) 表明

K^{\times}

在

ϕ_{L / K}

的核中, 又

N m_{L / K} I_{L}

在核中 (因为这局部地成立), 因此有同态

I_{K} / K^{\times} \cdot N m_{L / K} I_{L} \to G a l (L / K)

对在

L / K

上非分歧的素数

v

,

ϕ_{L / K}

将

(\dots, 1, π_{v}, 1, \dots)

映为

(v, L / K)

, 这生成整个 Galois 群. 故以上映射为满射, 结合第二基本不等式, 其为同构.

1分圆扩张
2一般情形

1分圆扩张

设 $ζ$ 为 $m$ 次单位根, $m = l^{n}$ , 其中 $l$ 为素数, 我们去掉 $m = 2$ 的平凡情形, 以便讨论分歧. 我们有 $G a l (Q (ζ) / Q) ≃ (Z / m Z)^{\times} .$ 我们用 $[a]$ 表示 $a$ 的剩余类. 1. 对 $p \neq = l, p \neq = \infty$ , 则 $Q_{p} (ζ) / Q_{p}$ 非分歧, 故 $(a, Q_{p} (ζ) / Q_{p}) = [p]^{v_{p} (a)}$ 其中 $[p]$ 为 Frobenius 元素 $[p] (ζ) = ζ^{p}$ .
2. 对 $p = l$ , 令 $a = u p^{v_{p} (a)}$ , 则 $(a, Q_{p} (ζ) / Q_{p}) = [u^{- 1}]$ 3. 对 $p = \infty$ , $(a, Q_{p} (ζ) / Q_{p}) = [s g n (a)]$ 综合以上, 我们有 $(a, Q (ζ) / Q) = s g n (a) \cdot p \neq = l \prod p^{v_{p} (a)} \cdot u^{- 1} \equiv s g n (a) \cdot p \neq = l \prod p^{v_{p} (a)} l^{v_{l} (a)} a^{- 1} = 1 m o d l^{n}$

2一般情形

引理 2.1. (a) 若0.1(a) 对 $L / K$ 成立, 则对 $L / K$ 的子扩张也成立.
(b) 若0.1(a) 对 $L / K$ 成立, 则其对 $L \cdot K^{'} / K^{'}$ 成立.

证明. 一些自然性.

$□$

我们因而知道结论对所有分圆扩张成立.

引理 2.2. 对 Abel 扩张 $L / K$ , 0.1(b) 蕴含0.1(a);
对循环扩张 $L / K$ , 0.1(a) 蕴含0.1(b).

证明. 考虑如下交换图

K^{\times} I_{K} G H^{2} (G, L^{\times}) H^{2} (G, I_{L}) Q / Z \cup δ χ ϕ_{L / K} \cup δ χ χ

若

G

为循环群, 可以取

χ

为单射, 且 Tate 定理表明

\cup δ χ

为满射.

$□$

由于 $B r (K) = L c y c l i c ⋃ B r (L / K),$ 我们因而有对 $c \in B r (K)$ , $i n v c = 0$ .

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