用户: Fyx1123581347/比较云的微分几何

本节中函数均指实值函数. 加 (*) 的注记表明我云了一下觉得成立, 但实际未必是对的, 需要留神对待.

1几何环

设 $A$ 为 $\mathbb{R}$-代数, 其 $\mathbb{R}$ 点记为 $|A|$. 若 ${\bigcap }_{x\in |A|}\ker (x)=0$, 称 $A$ 为几何环.

对几何环 $A$, 可视 $A$ 为 $|A|$ 上函数环之子环, 赋予 $|A|$ 弱拓扑. 由于 $\mathbb{R}$ 上的拓扑与代数几何没什么关系, 一般这未必是 Zariski 拓扑的子空间拓扑.

命题 1.1. $|A|$ 是 Hausdorff 拓扑空间.

例 1.2. 任意集合 $M$ 上函数环的子代数 $A$ 都是几何环, 我们有自然的映射 $M\to |A|$. 这是单射当且仅当 $A$ 区分点.

命题 1.3. 若 $M$ 为拓扑空间, $A$ 为连续函数环的子代数, 则 $M\to |A|$ 为连续映射.

例 1.4. 多项式环 $A=\mathbb{R}[x_1,\dots ,x_n]$ 是几何环, 且 $|A|={\mathbb{R}}^n$.

例 1.5. 对 ${\mathbb{R}}^n$ 的开集 $U$, 令 $A=C^{\infty }(U)$, 则 $|A|=U$.

命题 1.6. 设 $A,B$ 为几何环, 则代数同态 $A\to B$ 诱导了 $|B|$ 到 $|A|$ 的连续映射.

定义 1.7. 设 $A$ 为几何环, $X\subset |A|$ 为子集, 限制 $A{|}_X$ 为 $X$ 上局部由 $A$ 给出的函数 $f$, 确切地说, 为这样的函数 $f:X\to \mathbb{R}$, 对任何 $x\in X$, 存在 $x$ 的邻域 $U\subset X$ 以及 $\bar{f}\in A$, 使得 $f{|}_U=\bar{f}{|}_U$.

注 1.8 (*). 这就是 $A$ 的层化的拉回.

我们有自然的映射$$A⟶A{|}_X,f⟼f{|}_X.$$若当 $X=|A|$ 时此映射为同构, 我们称 $A$ 为完备环.

命题 1.9. 设 $A$ 为几何环, $X\subset |A|$. 则映射$$\mu :X⟶\left|A{|}_X\right|,(\mu (a))(f)=f(a)$$是到像的同胚.

推论 1.10. 对 $Y\subset X\subset |A|$, $$(A{|}_X){|}_Y=A{|}_Y.$$

定义 1.11. 几何环 $A$ 被称作是 $C^{\infty }$-闭的, 如果对任何 $f_1,\dots ,f_f\in A$, 以及 $g\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^k)$, 都存在 $f\in A$, 使得$$f(a)=g(f_1(a),\dots ,f_k(a)),a\in |A|.$$

命题 1.12. 若 $A$ 为 $C^{\infty }$-闭, 则对开区间 $I$, $f\in A$, 在拓扑基开集 $X=f^{-1}(I)$ 上都有$$\mu :X⟶\left|A{|}_X\right|,(\mu (a))(f)=f(a)$$是同胚.

对几何环 $A$, 考虑如下的函数环 $\overline{A}$, 它是在 $|A|$ 上所有形如$$g(f_1,\dots ,f_l),f_i\in A,g\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^l)$$的函数. 由于光滑函数的复合还是光滑的, $\overline{A}$ 是 $C^{\infty }$-闭的. 并且, $\overline{A}$ 是 $A$ 的光滑包络, 即 $A$ 到任何光滑闭环的同态都穿过 $\overline{A}$.

2光滑流形

一个完备几何环 $A$ 称为光滑的, 如果存在 $|A|$ 的可数开覆盖 $\{U_k\}$, 使得 $A{|}_{U_k}\simeq C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$. 这差不多已是光滑流形的定义: 一个赋环空间, 存在可数开覆盖, 其上赋环空间结构为 $C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$. 我对于内蕴地操作光滑环没有兴趣, 故直接来看如下事实:

有从光滑流形范畴到在 $\mathrm{Spec}(\mathbb{R})$ 上的仿射概形的全忠实函子$$M⟶\mathrm{Spec}(C^{\infty }(M)).$$光滑环为其本质像. 特别的, $C^{\infty }(M)$ 的 $\mathbb{R}$-点即为 $M$.

命题 2.1. $C^{\infty }(M\times N)=\overline{C^{\infty }(M){\otimes }_{\mathbb{R}}{C}^{\infty }(N)}$.

3切空间

对于 $K$-代数 $A$, 我们可以定义其 $K$ 点 $h$ 处的点导子 $\xi \in {\mathrm{Hom}}_K(A,K)$, 适合$$\xi (fg)=f(h)\xi (f)+g(h)\xi (f),f,g\in A.$$换言之即 $\xi \in {\mathrm{Der}}_K(A,A/\ker h)$. 点导子的集合称为 $|A|$ 上点 $h$ 的切空间. 余切空间则定义为$$T_h^{\ast }(A)=\ker (h)/\ker (h{)}^2.$$

命题 3.1. 有满射$$v_h:{\mathrm{Hom}}_K(T_h^{\ast }A,K)⟶T_{h}A.$$若 $K$ 为域, 这是同构.

命题 3.2. $K$ 代数间的满射 (epimorphism) 诱导切空间之间的单射.

命题 3.3. 设 $A$ 为几何 $\mathbb{R}$-代数, $|A|$ 为 $\mathbb{R}$ 点集合, $U\subset |A|$ 为开集, 则限制映射: $${\rho }_U:A⟶A{|}_U$$诱导了切空间的同构.

例 3.4. 我们考虑平面上 $xy=0$ 定义的区域 $\mathbf{K}$, $A=C^{\infty }(K)=C^{\infty }(\mathbb{R}{)}^2{|}_{\mathbf{K}}$. 根据以上命题, 容易看出原点以外的切空间为一维, 原点的切空间为二维, 正如我们所想象的.

特别的, $\mathbf{K}$ 不是流形, 这提供了一个光滑流形范畴中纤维积未必存在的例子: $$\mathbf{K}{\mathbb{R}}^2\{0\}\mathbb{R}.xy$$

4余切丛

我们期望从 $M$ 的光滑函数环刻画出余切丛的光滑函数环.

设 $A$ 是 $K$-代数, 记$${\mathcal{S}}_k(A)={\mathrm{Diff}}_{k}A/{\mathrm{Diff}}_{k-1}(A),$$定义符号代数$${\mathcal{S}}_{\ast }(A)=\underset{n=0}{\overset{\infty }{⨁}}{\mathcal{S}}_n(A).$$其中乘积由微分算子的复合给出. 则 ${\mathcal{S}}_{\ast }(A)$ 为交换的 $A$-代数, ${\mathcal{S}}_0(A)=A$. 微分算子的换位子也给出 ${\mathcal{S}}_{\ast }(A)$ 上的李代数结构, ${\mathcal{S}}_1(A)$ 为李子代数.

5向量丛与模

设 $A$ 是 $K$-代数, $P$ 是 $A$-模, 令$$|P|=\bigcup _{h\in |A|}{P}_h,$$其中 $P_h=R/{\mu }_{h}P$. $|P|$ 到 $|A|$ 有自然的投影, 很像向量丛, 我们称为伪丛.

对 $p\in P$, 有截面:$$s_p:|A|⟶|P|,h⟼p_h.$$全体这样的截面记作 $\Gamma (P)$.

定义 5.1. $C^{\infty }(M)$ 模 $P$ 称为几何的, 如果 ${\bigcap }_{z\in M}{\mu }_{z}P=0$.

我们可以定义模 $P$ 的支集. 对模同态 $F:P\to Q$, $F_h$ 在 $h\in |A|$ 处的取值为映射 $F_h:P_h\to Q_h$.

我们来定义 $|P|$ 上的拓扑. $P^{\vee }$ 中的元素可以视作 $|P|$ 上的函数:$$f(p_h)=f(p)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{\mu }_h\in A/{\mu }_h=K.$$类似的, 对称代数 $S(P)$ 中的元素均可视作 $P^{\vee }$ 上的函数, 记为 $F(|P|)$. 我们在 $|P|$ 上赋予这些函数给出的弱拓扑. 在这种拓扑下的所有连续截面记作 ${\Gamma }_0(P)$.

设余切丛截面为 ${\Lambda }^1(C^{\infty }(M))$, 有映射 $C^{\infty }(M)\to {\Lambda }^1(M)$, $f\mapsto df$. 我们把其对应的截面记作 $s_{df}$.

命题 5.2. $(d,{\Lambda }^1(C^{\infty }(M)))$ 是几何模范畴中的万有导子.

证明. 我们来证明自然的同态$${\eta }_P:{\mathrm{Hom}}_{C^{\infty }(M)}({\Lambda }^1(M),P)⟶D(P),h⟼h\circ d$$当 $P$ 为几何模时是同构. 为此, 我们构造逆映射$${\nu }_P:D(P)⟶{\mathrm{Hom}}_{C^{\infty }(M)}({\Lambda }^1(M),P),X⟼h_X.$$事实上, 对 $1$-形式 $\omega$, 可以书 $\omega ={\sum }_i{f}_{i}d{g}_i$, 令$$h_X(\omega )=\sum _i{f}_{i}X(g_i).$$需要检验 $h$ 良好定义.

设 $z\in M$, $f={\sum }_i{c}_i{g}_i$, 其中 $c_i=f_i(z)\in \mathbb{R}$. 则 ${\omega }_z={\sum }_i{d}_z{g}_i=d_{z}f$, 并且$$h_X(\omega )(z)=\sum _i{f}_i(z)X_z(g_i)=X_z\left(\sum _i{c}_i{g}_i\right)=X_z(f).$$其中 $X_z$ 是 $C^{\infty }(M)\to P\to P_z$ 的复合. 因子 $h_X(\omega )$ 在任何一点 $z\in M$ 处的值都良好定义. 由于 $P$ 是几何的, $h_X(\omega )$ 良好定义. 容易检验两个映射互为逆.

$\square$

这给出了一个配对$${\Lambda }^1(M)\times D(P)⟶P,(\omega ,X)⟼h_X(\omega ).$$

例 5.3. 对 $P=C^{\infty }(M)$, 这是通常的 $1$-形式与向量场的配对 $\omega (X)$.

例 5.4. 对 $A=C^{\infty }(M)$, 我们可能不明白 Kahler 微分 ${\Omega }_{A/\mathbb{R}}^1$ 是什么, 取 $M=\mathbb{R}$, 有 $d{e}^x\ne e^{x}dx$. 然而, ${\Omega }_{A/\mathbb{R}}^1$ 的几何化即为 ${\Lambda }^1(M)$.

例 5.5 (1-形式的拉回). 设 $F:M\to N$ 为光滑映射, 则$$d\circ F^{\ast }:C^{\infty }(N)⟶{\Lambda }^1(M)$$为导子. 这诱导了映射$$F^{\ast }:{\Lambda }^1(N)⟶{\Lambda }^1(M).$$

6射流丛

在射流从 $J^{l}M$ 的整体截面 $J^l(M)$ 上可以赋予自然的代数结构.

命题 6.1. 存在 $f_1,\dots ,f_m\in C^{\infty }(M)$, 使得 $l$-射流 $j_l(f_1),\dots ,j_l(f_m)$ 生成了模 $J^l(M)$.

证明. 对 $M={\mathbb{R}}^k$, 这是根据 Taylor 展开. 一般的, 我们取嵌入 $F:M\to {\mathbb{R}}^k$, 则 $F^{\ast }(x^{\sigma }),|\sigma |\le l$ 满足要求. 事实上, 在任何一点处都可以选择 $x_i$ 成为局部坐标, 根据 Hadamard 引理结论成立.

$\square$

推论 6.2. 存在 $f_1,\dots ,f_m$, 其微分生成了 ${\Lambda }^1(M)$.

命题 6.3. 射流映射$$j_l:C^{\infty }(M)⟶J^l(M),f⟼j_l(f)$$是 $\le l$ 阶的线性微分算子.

这个映射被称为万有线性微分算子, 稍后即可明白其含义.

设 $P$ 为几何模, 则有自然的配对$${\mathrm{Diff}}_{l}P\times J^l(M)\to P$$对 $\Delta \in {\mathrm{Diff}}_l(P)$, $\Theta \in J^l(M)$, $z\in M$, 设 $\Theta (z)=[f{]}_z^l$. 令$$(\Delta ,\Theta )(z)=\Delta (f)(z)\in P_z。$$对任何算子 $\Delta \in {\mathrm{Diff}}_l(P)$, 我们可以给出模同态 $h_{\Delta }:J^l(M)\to P$, 即 $h_{\Delta }(\Theta )=(\Delta ,\Theta )$. 根据定义我们有 $(\Delta ,j_l(f))=\Delta (f)$. 因此, $j_l\circ h_{\Delta }=\Delta$. 另一方面, 如果 $h:J^l(M)\to P$ 是模同态, 则复合$${\Delta }_h=h\circ j_l:C^{\infty }(M)\to P$$是 $\le l$ 阶的微分算子, 且 $h_{{\Delta }_h}=h$. 因此我们有

命题 6.4. 微分算子 ${\mathrm{Diff}}_l$ 在几何模范畴中可表, 表示对象为 $J^l(M)$.

7拟丛与几何模

我们取 $|P|$ 上的函数环 $\overline{S(P^{\vee })}$