用户: Fyx1123581347/晶体上同调/微分算子

设 $R$ 是交换环, $A$ 是交换 $R$-代数, $M$ 是 $R$-模. 对 $n\in \mathbb{N}$, 我们定义 $P_{A/R}^n:=(A{\otimes }_{R}A)/I^{n+1}$. 有时候我们略去下标直接记作 $P^n$. 我们用 $d_0,d_1$ 表示 $A$ 到 $P$ 的两个同态.

定义 0.1. 一个 $R$-线性映射 $h:A\to A$ 称为小于等于 $n$ 阶的微分算子, 如果存在一个 $A$-线性映射 $\tilde{h}:d_{0\ast }(P^n)\to A$ 适合如下交换图我们记 ${\mathrm{Diff}}^n$ 为阶 $\le n$ 的微分算子.

由于 $d_{0\ast }(P^n)$ 作为 $A$-模被 $d_1$ 的像生成, 这样的 $\tilde{h}$ 若存在则唯一. 记 $D_n=\mathrm{Hom}(d_{0\ast }{P}^n,A)$.

例 0.2. 取 $n=0$, 零阶微分算子就是 $A$ 中的某个元素相乘.

例 0.3. 设 $A=R[X]$, 那么 $P=R[X,X^{\prime }]$, $$P^n=R[X,X^{\prime }]/(X-X^{\prime }{)}^{n+1}=R[X][t]/t^{n+1},$$其中 $t=X-X^{\prime }$. 从而$$d_{0\ast }{P}^n\simeq R\oplus Rt\oplus \cdots R{t}^n.$$我们把 $d_{0\ast }$ 的对偶基记作 $D_0,D_1,\dots ,D_n$. 现在观察 $d_1:A\to P^n$, 这个映射是$$d_1:R[X]\to R[X][t]/t^{n+1},X\mapsto X+t.$$也就是说对于 $f\in R[x]$, $$d_{1}f=f(X+t)=f(X)+f^{\prime }(X)t+\frac{f^{\prime \prime }}{2}(X)t^2+\cdots +\frac{f^{(n)}}{n!}{t}^n.$$因此有$$D_k(d_{1}f)=\frac{{\partial }^k}{k!}f.$$从而我们可以说 $D_k={\partial }^k/k!$.

注 0.4. 如果 $R$ 的特征是 $p$, 那么我们在高于 $p$-阶时不能直接做 Taylor 展开. 然而我们仍然希望有 $f(X+t)$ 的 Taylor 展开, 解决方法是使用除幂闭包. 还是考察 $A=R[X]$. 此时我们使用$$P_{pd}=R[X]<t>,$$这是 $R[X][t]$ 对理想 $t$ 做的除幂闭包. 具体而言, $$P_{pd}=A\oplus At\oplus \cdots \oplus A{t}^{[m]}\oplus \cdots$$其中$$t^{[m]}{t}^{[n]}=\frac{(m+n)!}{m!n!}{t}^{[m+n]}.$$定义$$P_{pd}^n=A\oplus At\oplus \cdots \oplus A{t}^{[n]}.$$那么同样有$$d_{1}f=f(X+t)=f(X)+f^{\prime }(X)t+f^{\prime \prime }(X)t^{[2]}+\cdots +f^{(n)}(X)t^{[n]}.$$我们滥用记号, 设 $D_0,\dots D_n$ 是 $P_{pd}^n$ 的对偶基, 那么$$D_k(d_{1}f)={\partial }^{k}f.$$我们可以说 $D_k={\partial }^k$. 但是注意! ${\partial }^{p}f=0$, 因此 $D_k$ 在 $A$ 上的作用并不见得忠实.

引理 0.5. 对任何 $n,n^{\prime }\in \mathbb{N}$, 存在唯一的 $A$-(双) 代数同态$${\delta }^{n,n^{\prime }}:P^{n+n^{\prime }}\to P^n{\otimes }_A{P}^{n^{\prime }}$$使得如下图表交换

注 0.6. 我们澄清一下最下方 $d_1\otimes \mathrm{id}$ 的含义. 在张量积$$P^n\otimes P^{n^{\prime }}$$里, 我们是将两个双 $A$-模做张量积, 其中 $P^n$ 的右模结构和 $P^{n^{\prime }}$ 的左模结构平衡. 因此$$d_1\otimes \mathrm{id}:A{\otimes }_A{P}^{n^{\prime }}\to P^n\otimes P^{n^{\prime }}$$是良好定义的.