用户: Fyx1123581347/平展上同调/光滑、非分歧与平展态射

1定义及基本性质

定义 1.1. 设 $f:X\to Y$ 为概形间态射, 称其为形式光滑 (形式非分歧; 形式平展), 如果对任何一阶加厚 $i:T_0\to T$ 与 $f$ 的态射如下图, 于 $T$ 上局部存在 (至多存在一个; 存在唯一) $g_0$ 的提升 $g$. 称 $f$ 为光滑 (非分歧; 平展), 如果 $f$ 为形式光滑 (形式非分歧; 形式平展) 且局部有限表现.

注 1.2.

1.	定义中局部存在的意思自然就是每一点处存在一个邻域适合.
2.	显然, 形式平展当且仅当形式光滑且形式非分歧.
3.	若 $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$ 为 (形式) 光滑, 则 $gf$ 亦 (形式) 光滑. 对非分歧和平展同理.
4.	这些性质都被基变换保持.
5.	设 $U_i$ 为 $X$ 的开覆盖, 若 $U_i/Y$ 光滑, 则 $X/Y$ 光滑.
6.	在平展情形中, 由局部的存在唯一性, 整体的提升也是存在唯一.
7.	开浸入是平展态射.
8.	定义中的一阶加厚也可以改成任意阶加厚, 只需要将 $n$ 阶加厚 $T_0\hookrightarrow T$ 拆成$$T_0\hookrightarrow T_1\hookrightarrow \cdots \hookrightarrow T_{n-1}\hookrightarrow T_n.$$
9.	如上定义也可以修改为对于 $T$ 仿射, 相应的提升性质成立. 只有原来的形式光滑推修改后的形式光滑不易, 需用投射性的忠实平坦下降.

例 1.3. 设 $Y=\mathrm{Spec}(A)$, $X={\mathbb{A}}_Y^n$, $T=\mathrm{Spec}(B)$, $T_0=\mathrm{Spec}(B/I)$, 则$${\mathrm{Hom}}_Y(T,X)=B^n,{\mathrm{Hom}}_Y(T_0,X)=(B/I{)}^n.$$显然 $\mathrm{Hom}$ 集之间映射为满射, 故 ${\mathbb{A}}_Y^n\to Y$ 为光滑.

推论 1.4. 态射 $f:{\mathbb{P}}_S^n\to S$ 为光滑.

2扩张

引理 2.1. 考虑交换图其中 $i$ 是由理想 $\mathcal{I}$ 定义的一阶加厚, $g_1,g_2$ 是 $g_0$ 的两个提升, 则 $g_2^{♭}-g_1^{♭}:{\mathcal{O}}_X\to g_{\ast }{\mathcal{O}}_T$ 穿过 $g_{\ast }\mathcal{I}$, 并且$$g_2^{♭}-g_1^{♭}\in {\mathrm{Der}}_Y({\mathcal{O}}_X,g_{\ast }\mathcal{I})={\mathrm{Hom}}_X({\Omega }_{X/Y}^1,g_{\ast }\mathcal{I})={\mathrm{Hom}}_{T_0}(g_0^{\ast }{\Omega }_{X/Y},\mathcal{I}),$$其中 $g$ 为 $g_i$ 所共用之底拓扑空间上映射. 因 ${\mathcal{I}}^2=0$, 不难发现 $g_{i\ast }\mathcal{I}$ 上的 ${\mathcal{O}}_X$-模结构一致, 故可无歧义地记作 $g_{\ast }\mathcal{I}$.

又有, 若 $g_1$ 为提升, $\partial \in {\mathrm{Der}}_Y({\mathcal{O}}_X,g_{\ast }\mathcal{I})$, 则 $(g,g_1^{♭}+\partial )$ 也是提升.

证明. 因 $\varphi :=g_2^{♭}-g_1^{♭}$ 在 $g_{\ast }{\mathcal{O}}_{T_0}$ 中为 $0$, 故其穿过 $g_{\ast }\mathcal{I}$. 若视 $Y$ 为基概形, 这里的操作都尊重 $Y$, 因此 $\varphi$ 为 $f^{-1}({\mathcal{O}}_Y)$-线性. 并且对于 $x,y\in {\mathcal{O}}_X(U)$, 有$$\begin{array}{rl}\varphi (xy)& =g_2^{♭}(xy)-g_1^{♭}(xy)\\ & =g_2^{♭}(x)(g_2^{♭}(y)-g_1^{♭}(y))+g_1^{♭}(y)(g_2^{♭}(x)-g_1^{♭}(x))\\ & =x\varphi (y)+y\varphi (x).\end{array}$$反之, 若 $g_1$ 为提升, $\partial \in {\mathrm{Der}}_Y({\mathcal{O}}_X,g_{\ast }\mathcal{I})$, 则知 $g_2:=g_1+\partial$ 同样使得最上图表交换. 仅需验证其为环同态, 此即上面计算之逆.

$\square$

注 2.2. 这说明 ${\mathrm{Hom}}_{T_0}(g_0^{\ast }{\Omega }_{X/Y},\mathcal{I})$ 在提升上有旋子性作用; 假设提升非空, 则所有提升与 ${\mathrm{Hom}}_{T_0}(g_0^{\ast }{\Omega }_{X/Y},\mathcal{I})$ 中元素一一对应.

注 2.3. 这里使用了 Kähler 微分对于非拟凝聚的模层亦有相应泛性质. 精心把叙述中的推出都用拉回替代大概可以避免这一点.

定义 2.4. 设 $f:X\to Y$ 为态射, $\mathcal{I}\in \mathsf{Qcoh}(X)$. 所谓以 $\mathcal{I}$ 作 $X$ 的 $Y$-扩张, 是指交换图表其中 $i$ 是一阶加厚, 且理想为 $\mathcal{I}$.

例 2.5. 对偶数代数 $D(\mathcal{I})$ 为 $Y$-扩张. 回忆对偶数代数为$${\mathcal{O}}_{X^{\prime }}={\mathcal{O}}_X\oplus \mathcal{I},$$乘法定义为$$(x,m)(x^{\prime },m^{\prime })=(x{x}^{\prime },x{m}^{\prime }+x^{\prime }m).$$

$Y$-扩张的同构$$(X\stackrel{i^{\prime }}{\hookrightarrow }{X}^{\prime })\stackrel{\sim }{\to }(X\stackrel{i^{\prime \prime }}{\hookrightarrow }{X}^{\prime \prime })$$是一个 $Y$-态射 $X^{\prime }\to X^{\prime \prime }$, 使得 $a{i}^{\prime }=i^{\prime \prime }$, 并且 $a$ 在 $\mathcal{I}$ 上为恒等映射, 也即如下两个图表交换: 根据五引理, 这样的 $a$ 总是同构.

注 2.6. 设有短正合列其中 $\mathcal{A}$ 为 $|X|$ 上的交换环层, $\mathcal{I}$ 为 $\mathcal{A}$ 的幂零理想, ${\mathcal{O}}_X$ 为概形, $\mathcal{I}$ 为其上拟凝聚层, 则 $\mathcal{A}$ 是概形.

证明.

证明. 取茎知对 $x\in X$, ${\mathcal{A}}_x$ 为局部环, 剩余域同 ${\mathcal{O}}_{X,x}$. 问题是局部性的, 我们假设 ${\mathcal{O}}_X$ 为仿射概形, 则正合, 因仿射概形上拟凝聚层上同调消失. 对于 $f\in \Gamma (X,\mathcal{A})$, 有 $\forall x,f_x^2=0$, 故 $f^2=0$, 从而 $\Gamma (X,\mathcal{I})$ 中元素皆幂零, 因此 $\Gamma (X,\mathcal{A})$ 之素谱等同于 $X$. 记 $A=\Gamma (X,\mathcal{A})$, ${\mathcal{O}}_{\tilde{X}}=\mathrm{Spec}(A)$, 则有自然的态射 ${\mathcal{O}}_{\tilde{X}}\to \mathcal{A}$.

我们此时有交换图根据五引理, 中间一项亦是同构, 从而 $\mathcal{A}\simeq \mathrm{Spec}(A)$.

$\square$

引理 2.7. 设 $X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }S$ 为概形间态射, 其中 $f$ 为仿射态射. 令 $\mathcal{I}$ 为 $X$ 上拟凝聚层, 则有如下正合列

证明.

证明. 暂略.

$\square$

注 2.8. 由于我们只有右正合性, 无法直接使用 $\mathrm{Ext}$ 的长正合列, 因此这个引理及其证明并非行为艺术.

定义 2.9. ${\mathrm{Ext}}_Y(X,\mathcal{I})$ 定义为 $Y$-扩张的同构类的集合.

引理 2.10. 设 $f:X\to Y$ 为概形间态射, 则 $f$ 形式光滑当且仅当对任何 $X$ 的开集 $U$, 及 $\mathcal{I}\in \mathsf{Qcoh}(U)$, 均有 ${\mathcal{E}xt}_Y(U,\mathcal{I})=0$, 其中 ${\mathcal{E}xt}_Y(X,\mathcal{I})$ 是预层 $U\mapsto {\mathrm{Ext}}_Y(U,\mathcal{I}{|}_U)$ 的层化.

证明. 若 $f$ 形式光滑, 则 $U\to Y$ 亦形式光滑, 由上知 ${\mathcal{E}xt}_Y(U,\mathcal{I})=0$. 反之, 对图表不妨设其均仿射, 则对应考虑如下交换图表其中 $E$ 为拉回, 则得到 $Y$-扩张因 ${\mathcal{E}xt}_Y(X,I)=0$, 此正合列局部分裂, 右分裂即给出局部提升.

$\square$

引理 2.11. 设 $f:X\to Y$ 形式光滑, 且 $\mathcal{I}\in \mathsf{Qcoh}(X)$, 根据 3.7, 可以定义映射 $\varphi :{\mathrm{Ext}}_Y(X,\mathcal{I})\to {\mathrm{Ext}}_X^1({\Omega }_{X/Y},\mathcal{I})$, 其将送至则 $\varphi$ 是同构.

证明. 定义 $\varphi :{\mathrm{Ext}}_X^1({\Omega }_{X/Y},\mathcal{I})\to {\mathrm{Ext}}_Y(X,\mathcal{I})$ 如下: 对正合列考察如下交换图表其中 ${\mathcal{O}}_{X^{\prime }}$ 是拉回. 定义 $\psi (E)$ 为下方的正合列.
$\psi \varphi =\mathrm{id}$. 对 $Y$-扩张 $X^{\prime }$, ${\mathcal{O}}_X^{\prime }\to {\Omega }_{X^{\prime }/Y}^1\to i^{\ast }{\Omega }_{X^{\prime }/Y}^1$ 与 ${\mathcal{O}}_X^{\prime }\to {\mathcal{O}}_X$ 给出到纤维积的态射, 根据五引理其为同构.
$\varphi \psi =\mathrm{id}$. 图表中 $p-q$ 将是一个 $Y$-导子 ${\mathcal{O}}_{X^{\prime }}\to E$, 因而诱导态射 $i^{\ast }{\Omega }_{X^{\prime }/Y}^1\to E$, 根据五引理其为同构.

$\square$

3微分模

命题 3.1. 态射 $f:X\to Y$ 形式非分歧当且仅当 ${\Omega }_{X/Y}^1=0$.

证明. 若 ${\Omega }_{X/Y}^1=0$, 则由引理 2.1 知没有不同的提升. 反之, 考察如下交换图表其中 $(X{\times }_{Y}X{)}_1$ 是对角映射 $\Delta :X\to X{\times }_{Y}X$ 的一阶无穷小邻域, 或者说 $X/Y$ 的一阶射流. 此时 $p_2^{♭}-p_1^{♭}$ 正是泛对象 $d_{X/Y}:{\mathcal{O}}_X\to {\Omega }_{X/Y}^1$, 也就对应 $\mathrm{id}:{\Omega }_{X/Y}^1\to {\Omega }_{X/Y}^1$. 若 $f$ 非分歧, 则 $p_1=p_2$, 故 ${\mathrm{id}}_{{\Omega }_{X/Y}^1}=0$, 从而 ${\Omega }_{X/Y}^1=0$.

$\square$

引理 3.2. 设 $X$ 为概形, $E$ 为 $X$ 上有限型拟凝聚层. 若对任何拟凝聚层 $F$, 均有 $\mathcal{E}x{t}_{{\mathcal{O}}_X}^1(E,F)=0$, 则 $E$ 局部自由.

证明. 局部上可书$$0\to F\to L\to E\to 0$$其中 $L$ 是有限秩自由模. 故 $F$ 为拟凝聚层. 此正合列局部分裂, 即 $E$ 局部自由.

$\square$

注 3.3. 若不假设有限型, 则得到 $E$ 局部投射.

命题 3.4. 若 $f:X\to Y$ 光滑, 则 ${\Omega }_{X/Y}^1$ 有限型局部自由.

证明. 对任何 $\mathcal{I}\in \mathsf{Qcoh}(X)$, 均有$${\mathrm{Ext}}_Y(X,\mathcal{I})\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{Ext}}_{{\mathcal{O}}_X}^1({\Omega }_{X/Y}^1,\mathcal{I}),$$因而$${\mathcal{E}xt}_Y(X,\mathcal{I})\stackrel{\sim }{\to }{\mathcal{E}xt}_{{\mathcal{O}}_X}^1({\Omega }_{X/Y}^1,\mathcal{I}),$$因 $f$ 光滑, 局部上 $Y$-扩张有收缩, 也即其为平凡扩张. 故 ${\mathcal{E}xt}_{{\mathcal{O}}_X}^1({\Omega }_{X/Y}^1,\mathcal{I})$ 总是 $0$, 因而 ${\Omega }_{X/Y}^1$ 为有限型局部自由.

$\square$

注 3.5. 若 $f$ 为形式光滑, 则 ${\Omega }_{X/Y}^1$ 局部投射.

命题 3.6. 设 $X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }S$ 为概形间态射.
(a) 若 $f$ 光滑, 则如下复形(1)正合且局部分裂.
(a’) 若 $f$ 平展, 则 $f^{\ast }{\Omega }_{Y/S}^1\stackrel{\sim }{\to }{\Omega }_{X/S}^1$.
(b) 若 $g\circ f$ 光滑, (1) 正合且局部分裂, 则 $f$ 光滑.
(b’) 若 $g\circ f$ 光滑, 且 $f^{\ast }{\Omega }_{Y/S}^1\stackrel{\sim }{\to }{\Omega }_{X/S}^1$, 则 $f$ 平展.

证明. (a) 问题是局部的, 我们只要考察仿射概形的情形, 即假设 $A\to B\to C$, 证明分裂正合. 这等价于对任何 $C$-模 $I$, 此列作用 $\mathrm{Hom}(\cdot ,I)$ 后正合, 或者为正合. 根据引理 2.7 有正合列但 ${\mathrm{Ext}}_B(C,I)={\mathrm{Ext}}_C^1({\Omega }_{C/B}^1,I)$, 而 ${\Omega }_{C/B}^1$ 为局部自由模, 故投射, 从而 ${\mathrm{Ext}}_C^1({\Omega }_{C/B}^1,I)=0$.
(a’) 因平展时有 ${\Omega }_{X/Y}^1=0$, 故得之.
(b) 再次根据引理 2.7 中长正合列得到因此 ${\mathcal{E}xt}_B(C,I)$ 为 ${\mathcal{E}xt}_A(C,I)$ 之子层, 故为 $0$. 根据引理 2.10 即得 $f$ 光滑.
(b’) 此时 ${\Omega }_{X/Y}^1=0$, 并有 (1) 正合且分裂, 即 $f$ 光滑而非分歧, 故平展.

$\square$

命题 3.7. 考察交换图表其中 $i$ 为闭浸入, 理想层为 $\mathcal{I}$, 余法丛 ${\mathcal{N}}_{X/Z}=\mathcal{I}/{\mathcal{I}}^2$. 则
(a) 若 $f$ 光滑, 则如下复形(2)正合且局部分裂.
(a’) 若 $f$ 平展, 则 ${\mathcal{N}}_{X/Z}\stackrel{\sim }{\to }{i}^{\ast }{\Omega }_{Z/Y}^1$.
(b) 若 $g$ 光滑, 并有 (2) 正合且局部分裂, 则 $f$ 光滑.
(b’) 若 $g$ 光滑, 并有 ${\mathcal{N}}_{X/Z}\stackrel{\sim }{\to }{i}^{\ast }{\Omega }_{Z/Y}^1$, 则 $f$ 平展.

证明. (a) 考虑 $X$ 在 $Z$ 中的一阶无穷小邻域 $Z_1$, 则有即局部上有 $X^{\prime }$ 到 $X$ 的收缩.
(b) 往证对 $X$ 的开集 $U$ 及 $J\in \mathsf{Qcoh}(U)$, 均有 ${\mathcal{E}xt}_Y(U,J)=0$. 以 $U$ 替代 $X$ 略无影响. 设 $j:X\hookrightarrow X^{\prime }$ 为一 $Y$-扩张. 因 $g$ 光滑, 有 $h:X^{\prime }\to Z$ 延拓 $i$, 即次之图表: 设 $i_1:X\to Z_1$ 为 $X$ 在 $Z$ 中的一阶无穷小邻域, 则有 $Z_1$ 到 $X$ 的收缩 $r$, 从而 $r\circ h$ 给出 $X^{\prime }$ 到 $X$ 的收缩, 即此为平凡扩张.

$\square$

注 3.8. 设有环同态 $A\stackrel{f}{⟶}B\stackrel{g}{⟶}C$, 且 $C=B/I$, 则如下三个集合之间有自然的双射

1.	$d_{B/A}:I/I^2\to C{\otimes }_B{\Omega }_{B/A}^1$ 的左逆,
2.	$\{\partial \in {\mathrm{Der}}_A(B,I/I^2)\mid \partial (x)=\bar{x},\forall x\in I\}$,
3.	环同态 $B/I^2\to B/I$ 的右分裂.

4Jacobi 判别法

命题 4.1. 态射 $f:X\to Y$ 光滑当且仅当 $X$ 局部地在 ${\mathbb{A}}_Y^n$ 上平展.

证明. 若 $X$ 局部在在 ${\mathbb{A}}_Y^n$ 上平展, 则显然 $f$ 光滑. 反之我们有如下更精确的形式.

$\square$

命题 4.2. 设 $f:X\to Y$ 光滑, 且 $s_1,\dots ,s_n\in \Gamma (X,{\mathcal{O}}_X)$ 使得 $d{s}_1,\dots ,d{s}_n$ 为 ${\Omega }_{X/Y}^1$ 作为 ${\mathcal{O}}_X$-模的一组基 (由于 ${\Omega }_{X/Y}^1$ 局部自由, 这样的 $s_i$ 总是局部存在). 则 $(s_1,\dots ,s_n)$ 给出的态射 $s:X\to {\mathbb{A}}_Y^n$ 为平展.

证明. 所谓 $d{s}_i$ 为基正是 $s^{\ast }{\Omega }_{{\mathbb{A}}_Y^n/Y}^1\to {\Omega }_{X/Y}^1$ 为同构, 根据性质 3.6.(b’) 即得.

$\square$

引理 4.3. 设 $A$ 为局部环, $k=A/\mathfrak{m}$ 为其剩余域. 设 $E$ 为有限型 $A$-模, $F$ 为投射 $A$-模. 命 $u:E\to F$ 为同态, 则如下二者等价

1.	$u$ 是分裂的单射 (即 $u$ 有左逆).
2.	$u\otimes {\mathrm{id}}_k:E\otimes k\to F\otimes k$ 为单射.

证明. (1) 推 (2) 明显, 我们来证明 (2) 蕴含 (1). 根据 Nakayama 引理, 不妨设 $E$ 自由. 因 $F$ 投射, 且 $E\to E\otimes k$ 为满射, 存在 $v:F\to E$ 使得 $vu\otimes {\mathrm{id}}_k={\mathrm{id}}_{E\otimes k}$. 因此 $\det vu\in 1+\mathfrak{m}$, 即 $v\circ u$ 为同构.

$\square$

命题 4.4 (Jacobi 判别法). 设有交换图其中 $g$ 光滑, $i$ 是有限型拟凝聚理想层 $\mathcal{I}$ 定义的闭浸入. 对 $x\in X$, $f$ 在 $x$ 附近光滑当且仅当存在 $\mathcal{I}$ 在 $x$ 附近的截面 $\{s_i{\}}_{1\le i\le r}$ 使得 $((s_i{)}_x)$ 生成了 ${\mathcal{I}}_x$, 且 $d_{Z/Y}(s_i)\otimes 1\in {\Omega }_{Z/Y}^1\otimes k(x)$ 线性无关.

证明. 由性质 3.7, 在 $x$ 处的光滑性等价于在 $x$ 附近的分裂正合性. 所涉模层均为有限型, 故只需看茎: 因 ${\Omega }_{Z/Y}^1$ 局部自由, 根据引理 4.3, 只要看是否有单射$$\begin{array}{rl}\mathcal{I}/{\mathcal{I}}^2\otimes k(x)& ⟶{\Omega }_{Z/Y}^1\otimes k(x),\\ s\otimes t& ⟼d_{X/Y}(s)\otimes t.\end{array}$$这正是命题中的条件.

$\square$

推论 4.5. 在以上性质中, 令 $Z={\mathbb{A}}_Y^n$, 则知 $f$ 在 $x$ 处光滑当且仅当 $x$ 附近存在 $\mathcal{I}$ 的生成元 $f_1,\dots ,f_r$, 使得$${\mathrm{rk}}_{k(x)}{\left(\frac{\partial f_i}{\partial t_j}(x)\right)}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le i\le r}{1\le j\le n}}=r.$$