用户: Fyx1123581347/寒假讨论班讲义/Riemann–Roch

我们将充足理想嵌入到 $K_{\mathbb{R}}$ 中:$$j\mathfrak{a}={\mathfrak{a}}_{\infty }j{\mathfrak{a}}_{\mathrm{f}}.$$

定义 0.1. 充足理想 $\mathfrak{a}$ 的 Euler–Minkowski 特征定义为$$\chi (\mathfrak{a})=-\log \mathrm{vol}(\mathfrak{a}).$$

命题 0.2. Euler–Minkowski 特征 $\chi (\mathfrak{a})$ 仅取决于 $\mathfrak{a}$ 在充足 Picard 群中的等价类.

命题 0.3. 对充足理想 $\mathfrak{a}$, 有$$\mathrm{vol}(\mathfrak{a})=\sqrt{\left|d_K\right|}\mathfrak{N}(\mathfrak{a}).$$

我们回忆充足理想的 degree 为$$\mathrm{deg}(\mathfrak{a})=-\log \mathfrak{N}(\mathfrak{a})=\mathrm{deg}(\mathrm{div}(\mathfrak{a}))$$