用户: Fyx1123581347/偏微分方程/变分方法/Gagliardo–Sobolev 不等式的最佳常数

1直线上的 Sobolev 嵌入

回忆我们要求 ${\mathbb{R}}^1$ 上$$J(u)=\frac{{\Vert u\Vert }_{L^2}^4{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2}{{\Vert u\Vert }_{L^6}^6}$$的最小值 $J_1=\inf J(u)$. 为此我们用凝聚紧性取出了 $u\in H^1(\mathbb{R})$ 使得 $J(u)=J_1$.

根据第一次作业, 可以用 $|u|$ 代替 $u$, 从而假设 $u\ge 0$. 我们下面做变分来求解 $u$ 适合的微分方程. $$\begin{array}{rl}J(u+t\varphi )& =\frac{{\Vert u+t\varphi \Vert }_{L^2}^4{\Vert \nabla u+t\nabla \varphi \Vert }_{L^2}^2}{{\Vert u+t\varphi \Vert }_{L^6}^6}\\ & =\frac{{\left({\Vert u\Vert }_{L^2}^2+2t\int \varphi u+O(t^2)\right)}^2\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+2t\int \nabla \varphi \nabla u+O(t^2)\right)}{{\Vert u\Vert }_{L^6}+6t\int \varphi u^5+O(t^2)}\\ & =1+2t\left(\int (-△u+2J_{1}u-3J_1{u}^5)\varphi \right)+O(t^2),\end{array}$$其中我们假设 $\varphi$ 是实值函数. 因此$$-△u+2J_{1}u-3J_1{u}^5=0,$$或者$$-u^{\prime \prime }=3J_1{u}^5-2J_{1}u.$$

•	正则性. 因为 $u\in H^1(\mathbb{R})\hookrightarrow C^0(\mathbb{R})$, 我们通过 bootstrap 得到 $u\in C^{\infty }(\mathbb{R})$. 因此这个微分方程是经典意义下的.
•	$u\ge 0$, 因此 $u>0$. 若不然, 假设 $u(x_0)=0$, 则 $u^{\prime }(x_0)=0$, 根据 ODE 解的唯一性 $u\equiv 0$.
•	当 $|x|\to \infty$ 时 $u(x)\to 0$. 这是因为 $H^1(\mathbb{R})$ 中的函数都如此. 我们有$$\hat{u}(\xi )=1_{|\xi |\le 1}\hat{u}(\xi )+1_{|\xi |>1}{\xi }^{-1}\cdot \xi \hat{u}(\xi ).$$第一部分是 $L^1\cap L^1$ 中的函数, 第二部分是两个 $L^2$ 函数的乘积, 因此是可积的. 从而 $u(x)\in C_0(\mathbb{R})$.
•	方程具有平移对称性. 因为 $u$ 在无穷远处消失, 其必有最大值. 经平移可设 $u(0)$ 最大. 而方程又有反射对称性, 因此 $u$ 为偶函数.
•	$u$ 在 $[0,\infty )$ 上单调减少. 这是因为如果有两个值相同, 那它们间有一点导数为 $0$, 再次由反射对称性得到 $u$ 有两个对称轴, 从而是周期函数. 也可以做梯度估计得到 $u$ 在 $0$ 附近单调减少. 令 $v=u^{\prime }$, 则$$\{\begin{array}{l}-v^{\prime \prime }+2J_{1}v=15J_1{u}^{4}v\\ v(0)=0\\ v^{\prime }(0)=b\le 0\end{array}$$根据非自治 ODE 解的唯一性, $b=v^{\prime }(0)\ne 0$.

做首次积分, 或者根据能量守恒, 我们得到$$\frac{1}{2}{u}^{\prime 2}+\frac{1}{2}{J}_1{u}^6-J_1{u}^2=C.$$但是左边是 $L^1$ 中的函数, 从而 $C=0$. 因此 $u(0)=2^{\frac{1}{4}}$, 进而

$$(u^{\prime }{)}^2=J_1{u}^2(2-u^4),$$$$u^{\prime }=-\sqrt{J_1}u\sqrt{2-u^4}.$$令 $w=\sqrt{2}{u}^{-2}$, 则$$\frac{w^{\prime }}{w}=-2\sqrt{J_1(2-w^2)}.$$因此 $w(x)=\cosh (2\sqrt{2J_1}x)$, $$u(x{)}^2=\frac{\sqrt{2}}{\cosh (2\sqrt{2J_1}x)}.$$根据 ${\Vert u\Vert }_{L^2}=1$, 我们得到 $J_1=\frac{{\pi }^2}{4}$. 这些是来自数分一和 ODE 的技术.

一般的, 考察 $H^1(\mathbb{R})$ 取到 $J_1$ 的 $u$. 实际上有 (根据这次作业) $\left||u{|}^{\prime }\right|=|u^{\prime }|$, a.e. 因此假设 $u=e^{i\varphi (x)}\cdot |u|$, 可以得到 $\varphi$ 是常数. 进而可知 $u$ 就是$$\frac{a}{\sqrt{\cosh \left(\lambda (x-x_0)\right)}},a\in \mathbb{C},\lambda \in {\mathbb{R}}_{>0},x_0\in \mathbb{R}.$$

取 $x_0=0$, $a=u(0)=3^{\frac{1}{4}}$, $\lambda =2$, 则$$Q(x)=\frac{3^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{\cosh (2x)}}.$$它适合$$△Q+Q^5=Q,J_1=\frac{1}{3}{\Vert Q\Vert }_{L^2}^4.$$

2质量临界的非线性 Schrödinger 方程

我们这学期的目标之一是如下的方程$$\{\begin{array}{l}i{\partial }_{t}u+△u=-{\left|u\right|}^{\frac{4}{n}}u\\ u{|}_{t=0}=u_0\in H^1({\mathbb{R}}^n)\end{array}\text{\hspace{1em}(*)}$$

这是质量临界、聚焦的非线性 Schrödinger 方程.

孤波解. 令 $u=e^{it}Q(x)$, 则方程为$$-△Q+Q={\left|Q\right|}^{\frac{4}{n}}Q.$$质量守恒. 在 (*) 两边同时乘以 $\bar{u}(t,x)$, 的搭配$$i{\partial }_{t}u\cdot \bar{u}+△u\cdot \bar{u}=-{\left|u\right|}^{\frac{4}{n}+2},$$取虚部积分得到$$i\frac{d}{dt}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|u(t,x)\right|}^{2}dx=0.$$这说明质量 ${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|u\right|}^{2}dx$ 为常值.

能量守恒. 在 (*) 两边同时乘 ${\partial }_t\bar{u}$, 得到$$i{\left|{\partial }_{t}u\right|}^2+△u\cdot {\partial }_{t}u=-{\left|u\right|}^{\frac{4}{n}}u{\partial }_t\bar{u}.$$取实部积分得到$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{1}{2}{\partial }_t{\left|\nabla u\right|}^{2}dx-\frac{n}{2n+4}{\partial }_t{\left|u\right|}^{\frac{4}{n}+2}dx=0.$$因此能量$$E(t)=\frac{1}{2}\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\left|\nabla u(t,x)\right|}^2-\frac{n}{n+2}{\left|u(t,x)\right|}^{\frac{4}{n}+2}dx\right)$$为常值$$E(0)=E(t)=\frac{1}{2}\left({\Vert \nabla u(t,x)\Vert }_{L^2}^2-\frac{n}{2+n}{\Vert u(t,x)\Vert }_{L^{\frac{4}{n}+2}}^{\frac{4}{n}+2}\right).$$

然而这个能量未必是正的. 但是我们有估计$$E(t)=E(0)\ge \frac{1}{2}{\Vert \nabla u_0\Vert }_{L^2}^2\left(1-\frac{n}{n+2}{\Vert u_0\Vert }_{L^2}^{\frac{4}{n}}.\right)$$

因此如果 ${\Vert u_0\Vert }_{L^2}<{\left((1+\frac{2}{n})J_n\right)}^{\frac{4}{n}}$, 那么能量就是正的. 在 $n=1$ 的情形, 这就等价于 ${\Vert u_0\Vert }_{L^2}<{\Vert Q\Vert }_{L^2}$.

我们将研究等号成立的情形. 这时候可以证明方程有整体解.