用户: Fyx1123581347/偏微分方程/变分方法/凝聚紧性原理: 波包分解版本

1散焦的 Dirichlet 方程

我们要求解方程$$-△u={\left|u\right|}^{p-2}u$$其中 $2<p<2^{\ast }$, 边界条件为 $u{|}_{\partial \Omega }=0$. 我们同样认为 $u\in H_0^1(\Omega )$. 当然 $u=0$ 是一个解, 我们希望有不平凡解.

为此令 $\Sigma \subset H_0^1$ 为 $L^p$ 范数为 $1$ 的 “超曲面”, 在其上考察能量泛函$$E:\Sigma \to \mathbb{R},u\mapsto \frac{1}{2}{\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{2}dx.$$

首先取极小化子序列 $E(u_k)\to E_{\ast }$, 则 $\{u_k\}\subset H_0^1$ 有界, 设 $u_k\rightharpoonup u$, 因 $p<2^{\ast }$ (次临界条件), 有 $u_k\stackrel{L^p}{\to }u$, 从而 $u\in \Sigma$.

我们接下来在 $\Sigma$ 上做变分, 这与 Lagrange 乘子法很接近. 首先不妨假设 $u$ 是正的, 这是根据如下的引理:

引理 1.1. 对 $u\in H_0^1(\Omega )$, 有 $|u|\in H_0^1(\Omega )$ 且$${\int }_{\Omega }{\left|\nabla |u|\right|}^2\le {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2.$$左边是所谓的基态.

命题 1.2. $F:\mathbb{C}\to \mathbb{R},z\mapsto |z{|}^p$ 可微, 且 $dF{|}_z(v)=p|z{|}^{p-1}v$.

受以上命题启发, 考虑$$G:H_0^1(\Omega )\to \mathbb{R},u\mapsto {\int }_{\Omega }|u{|}^{p}dx.$$则 (取 $\varphi$ 为实值函数)$$\begin{array}{rl}G(u+t\varphi )& ={\int }_{\Omega }{\left|u+t\varphi \right|}^p\\ & =G(u)+tp{\int }_{\Omega }|u{|}^{p-1}\varphi +O(t^2).\end{array}$$

因此$$dG{|}_u(\varphi )=p{\int }_{\Omega }|u{|}^{p-1}\varphi .$$

它的核应该就是 “切空间”, 反正都依我们的喜好定义. 取$$u_t={\Vert u+t\varphi \Vert }_{L^p}^{-1}(u+t\varphi ),\varphi \in T_u\Sigma ,$$$$\begin{array}{rl}E(u_t)& ={\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^{2}dx\\ & =\frac{{\int }_{\Omega }{\left|\nabla u+t\varphi \right|}^2}{{\Vert u+t\varphi \Vert }_{L^p}^2}dx\\ & =\frac{{\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2+t{\int }_{\Omega }\nabla u\nabla \varphi +O(t^2)}{(1+tp{\int }_{\Omega }|u{|}^{p-1}\varphi +O(t^2){)}^{\frac{2}{p}}}\\ & =E(u)+t{\int }_{\Omega }\nabla u\nabla \varphi +O(t^2).\end{array}$$

因此对所有 $\varphi \in \ker dG(u)$, 都有$${\int }_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi =0.$$但是上式正是 $dE(u)(\varphi )$. 这说明$$\ker dG(u)\subseteq \ker dE(u).$$而两者都是 Hilbert 空间上的线性泛函, 因此存在 $\lambda$ 使得 $dG(u)=\lambda dE(u)$, 也即对 $\varphi \in H_0^1(\Omega )$$$\int \nabla u\nabla \varphi =\lambda {\int }_{\Omega }{u}^{p-1}\varphi .$$取 $\varphi =u$ 知 $\lambda >0$. 从而$$-△u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\lambda u^{p-1}.$$做尺度变换即得一个 $u\ne 0$, $$-△u=u^{p-1}.$$

注 1.3. 对于临界情况, 可以应用或发展 Morse 理论来加以分析.

2Gagliardo–Nirenberg 不等式的最佳常数

回忆对 $u\in H^1({\mathbb{R}}^n)$, 有$${\Vert u\Vert }_{L^{2+\frac{4}{n}}}\le C{\Vert u\Vert }_{L^2}^{\frac{2}{n+2}}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{\frac{n}{n+2}}.$$我们要求最佳的 $C$, 为此暴力考察如下表达式的最小值:$$J(u)=\frac{{\Vert u\Vert }_{L^2}^{\frac{4}{n}}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2}{{\Vert u\Vert }_{L^{2+\frac{4}{n}}}^{2+\frac{4}{n}}}.$$

为此还是取极小化子序列, 遗憾的是没有紧嵌入, 不能立刻看出最小值能否达到.

定理 2.1 (凝聚紧性 (concentration-compactness) 原理: 波包分解版本). 设 $\underline{u}=\{u_k\}\subset H^1({\mathbb{R}}^n)$ 有界, 那么它必有子列 (仍记作 $u_k$) 以及

•	$H^1({\mathbb{R}}^n)$ 中的函数列 $\{U^{(j)}{\}}_{j\ge 1}$, 即波包.
•	一族数列 ${\underline{x}}^{(j)}=\{x_k^{(j)}{\}}_{k\ge 1}\subset \mathbb{R}$, 它们是波包的平移尺度, 或者说中心.

使得如下事实成立:

1.	对 $j_1\ne j_2$, 有$$\underset{k\to \infty }{\lim }\left|x_k^{(j_1)}-x_k^{(j_2)}\right|=+\infty .$$这是说波包的中心会差得很远.
2.	对 $l\ge 1$, 令$$r_k^{(l)}(x)=u_k(x)-\sum _{j=1}^l{U}^{(j)}\left(x-x_k^{(j)}\right),$$则$$\underset{l\to +\infty }{\lim }\left(\underset{k\to +\infty }{\mathrm{limsup}}{\Vert r_k^{(l)}\Vert }_{L^p}\right)=0.$$从这里我们看到是在试图用 $U^{(j)}$ 的平移做叠加来 (一致地) 逼近 $u_k$.
3.	进一步固定 $l$, 对 $k\to +\infty$ 有$${\Vert u_k\Vert }_{L^2}^2=\sum _{j=1}^l{\Vert U^{(j)}\Vert }_{L^2}^2+{\Vert r_k^{(l)}\Vert }_{L^2}^2+o(1),$$$${\Vert \nabla u_k\Vert }_{L^2}^2=\sum _{j=1}^l{\Vert \nabla U^{(j)}\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla r_k^{(l)}\Vert }_{L^2}^2+o(1).$$这是说波包分解是几乎正交的.

注 2.2. 上面的版本没有体现凝聚性.

我们来看 $H^1({\mathbb{R}}^n)$ 到 $L^2({\mathbb{R}}^n)$ 的嵌入, 这不是紧嵌入, 因为一个紧支光滑函数可以不断往远处平移. 这说明 ${\mathbb{R}}^n$ 上的平移对称性是紧性的 “障碍”, 如上的定理大致表明这是紧性唯一的障碍. 为了更清楚一些, 我们继续来考察 $J(u)$ 的极小化子序列, 比如 $n=1$ 的情形, 即$$J(u)=\frac{{\Vert u\Vert }_{L^2}^4{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2}{{\Vert u\Vert }_{L^6}^6}$$

首先做归一化处理, 令$${\tilde{u}}_k=\alpha u_k(\beta x),$$则适当地选取 $\alpha ,\beta$ 可以使得$${\Vert {\tilde{u}}_k\Vert }_{L^2}^2=1,{\Vert {\tilde{u}}_k\Vert }_{L^6}=1,J({\tilde{u}}_k)=J(u_k).$$使用波包分解$$u_k=\sum _{j=1}^l{U}^{(j)}\left(x-x_k^{(j)}\right)+r_k^{(l)}(x),$$则$$|{\Vert u_k\Vert }_{L^6}-\Vert \sum _{j=1}^l{U}^{(j)}(x-x_k^{(j)}){\Vert }_{L^6}|\le {\Vert r_k^{(l)}\Vert }_{L^6}$$

因此$$\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}|{\Vert u_k\Vert }_{L^6}-\Vert \sum _{j=1}^l{U}^{(j)}(x-x_k^{(j)}){\Vert }_{L^6}|\stackrel{l\to \infty }{⟶}0.$$因为波包的中心趋于分散, 我们得到$$\Vert \sum _{j=1}^l{U}^{(j)}(x-x_k^{(j)}){\Vert }_{L^6}\stackrel{k\to \infty }{=}\sum _{j=1}^l\Vert U^{(j)}{\Vert }_{L^6}$$

因 ${\Vert u_k\Vert }_{L^6}\equiv 1$, 从而有$$\sum _{j=1}^{\infty }\Vert U^{(j)}{\Vert }_{L^6}=1.$$

又$$1={\Vert u_k\Vert }_{L^2}=\sum _{j=1}^l\Vert U^{(j)}{\Vert }_{L^2}^2+\Vert r_k^{(l)}{\Vert }_{L^2}^2+o(1),$$故$$1\ge \sum _{j=1}^{\infty }\Vert U^{(j)}{\Vert }_{L^2}^2.$$同理$$J_1\ge \sum _{j=1}^{\infty }\Vert \nabla U^{(j)}{\Vert }_{L^2}^2.$$

只有一个波包:

$${\Vert u\Vert }_{L^2}^4\cdot {\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\ge J_1{\Vert u\Vert }_{L^6}^6.$$

因此$$u_k(x)=U(x-x_k)+r_k(x).$$

而 ${\Vert r_k\Vert }_{L^2}\to 0,{\Vert \nabla r_k\Vert }_{L^2}\to 0$, 因此$$u_k(x+x_k)\stackrel{H^1}{⟶}U.$$

注 2.3. 对 ${\mathbb{R}}^3$ 中的嵌入$${\Vert u\Vert }_{L^6}\le C{\Vert u\Vert }_{L^2},$$同样方式可以找到收敛子列 ${\lambda }_k^{-1/2}{u}_k\left(\frac{x-x_k}{{\lambda }_k}\right)$.