用户: Estwald/分布理论

这是我从本地上传的, 还有诸多排版问题.

自始至终固定 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中开集. 沿着 N. Bourbaki 的路线, 定义常常伴随着定理而出现. 换句话说, 定义本身可能是一个命题, 常常需要检验定义的恰当性.

基本上所有的理论都可以搬运到复拓扑向量空间和复值函数上去 (有时需要修改一些定义, 例如添加一些共轭), 但为了符号的简单, 我们只考虑了实数的理论, 希望并未弄巧成拙.

所有技术与技巧均居末节, 图穷而匕见.

1试验函数与分布

定义 1.1 (试验函数空间). 在 $\mathbb{R}-$ 向量空间 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 上赋予拓扑如下:

函数序列 $\{{\phi }_n\}\subset C_0^{\infty }(\Omega )$ 在 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 中趋于 $0$, 如果

1.	存在紧集 $K\subset \Omega$ 使得对每个 $n,\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\phi }_n)\subset K$;
2.	对任何 $\alpha \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n,||{\partial }^{\alpha }{\phi }_n|{|}_{\infty }\to 0.$

此时记 $C_0^{\infty }(\Omega )$ 为 $\mathcal{D}(\Omega )$, 称为试验函数空间.

定义 1.2 (分布). 一个 $\Omega$ 上的分布, 意即试验函数空间 $\mathcal{D}(\Omega )$ 上的一个连续线性泛函. 记 ${\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 为 $\Omega$ 上全体分布构成的空间. 自然地, 称两个分布 $S,T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 相等, 如果对任何 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega ),⟨S,\phi ⟩=⟨T,\phi ⟩.$

注 1.3. 上述连续性当然是针对定义 1.1 中给予的拓扑谈论的.

命题 1.4. 设 $T$ 是 $\mathcal{D}(\Omega )$ 上线性泛函, 则 $T$ 是分布 $⟺$ 对任何紧集 $K\subset \Omega ,$ 存在 $C>0$ 及 $m\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 使得对任何 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$, 只要 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\phi )\subset K,$ 就有 $|⟨T,\phi ⟩|\le C\underset{|\alpha |\le m}{\sup }||{\partial }^{\alpha }\phi |{|}_{\infty }.$

证明. 充分性基本上是照本宣科. 下面证明必要性. 反之, 假设存在紧集 $K\subset \Omega$ 使得对任何 $C>0$ 及 $m\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0},$ 存在 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$ 使得 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\phi )\subset K$ 且 $|⟨T,\phi ⟩|>C\underset{|\alpha |\le m}{\sup }||{\partial }^{\alpha }\phi |{|}_{\infty }.$ 取 $C=m\in {\mathbb{Z}}_{+},$ 得到 ${\phi }_m\in \mathcal{D}(\Omega )$ 使得 $|⟨T,{\phi }_m⟩|>m\underset{|\alpha |\le m}{\sup }||{\partial }^{\alpha }{\phi }_m|{|}_{\infty }\ge 0.$ 可以假设 $|⟨T,{\phi }_m⟩|=1,$ 否则用 $\frac{{\phi }_m}{|⟨T,{\phi }_m⟩|}$ 代替 ${\phi }_m$ 参与讨论. 于是, 对 $|\beta |\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n,|\beta |\le m,$ 我们有 $||{\partial }^{\beta }{\phi }_m|{|}_{\infty }\le \underset{|\alpha |\le m}{\sup }||{\partial }^{\alpha }{\phi }_m|{|}_{\infty }\le \frac{1}{m}.$ 取 $m\to \infty ,$ 可知对任何 $\beta \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n,||{\partial }^{\beta }{\phi }_m|{|}_{\infty }\to 0,$ 于是在 $\mathcal{D}(\Omega )$ 中有 ${\phi }_m\to 0.$ 然而 $|⟨T,{\phi }_m⟩|=1\ne 0,$ 故 $T$ 不连续.

$\square$

例 1.5 (Valeur principale de Cauchy). $\mathrm{v}\mathrm{p}\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\mathbb{R})$ 满足对任何 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}),⟨\mathrm{v}\mathrm{p},\phi ⟩=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{|x|>\epsilon }\frac{\phi (x)}{x}dx={\int }_0^{\infty }\frac{\phi (x)-\phi (-x)}{x}dx.$

例 1.6 (Delta-Distribution). 对 $a\in \Omega$ 有分布 ${\delta }_a\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 满足对 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega ),⟨{\delta }_a,\phi ⟩=\phi (a).$

定义 1.7. 称 $f:\Omega \to \mathbb{C}$ 局部可积, 如果对任何紧集 $K\subset \Omega ,{\int }_K|f(x)|dx<\infty .$ 记 $L_{loc}^1(\Omega )$ 为 $\Omega$ 上局部可积函数构成的空间.

注 1.8. 观察到 $\mathcal{D}(\Omega )\subset {\mathbb{C}}^{\infty }(\Omega )\subset C^0(\Omega )\subset L_{loc}^1(\Omega ).$

例 1.9. 设 $f\in L_{loc}^1(\Omega ),$ 则可定义 $T_f\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 满足对 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega ),⟨T_f,\phi ⟩={\int }_{\Omega }f(x)\phi (x)dx.$

注 1.10. 不引起歧义的情况下, 就把上述 $T_f$ 记为 $f.$

定义 1.11. 称序列 $\{T_n\}\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 收敛到 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ),$ 如果对任何 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega ),⟨T_n,\phi ⟩\to ⟨T,\phi ⟩.$

定义 1.12 (分布的限制). 设 $\tilde{\Omega }$ 是 $\Omega$ 中开集, 则存在唯一的分布 $T{|}_{\tilde{\Omega }}\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\tilde{\Omega })$ 使得对任何 $\tilde{\phi }\in \mathcal{D}(\tilde{\Omega })\subset \mathcal{D}(\Omega ),⟨T{|}_{\tilde{\Omega }},\tilde{\phi }⟩=⟨T,\tilde{\phi }⟩.$ $T{|}_{\tilde{\Omega }}$ 称为 $T$ 在 $\tilde{\Omega }$ 上的限制.

命题 1.13. 限制属 ${\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 上连续线性泛函.

定理 1.14 (分布的一致有界原理, à la Banach-Steinhaus). 给定一列分布 $\{T_j{\}}_{j\ge 1}\subset {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ).$ 设 $K$ 是 $\Omega$ 中紧集. 如果对任何 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega )$, 只要 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\phi )\subset K,$ 就有 $\underset{j\ge 1}{\sup }|⟨T_j,\phi ⟩|<\infty$, 则存在 $C<\infty$ 及 $m\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 使得对任何 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega ),$ 只要 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\phi )\subset K,$ 就有 $\underset{j\ge 1}{\sup }|⟨T_j,\phi ⟩|\le C\underset{|\alpha |\le m}{\sup }||{\partial }^{\alpha }\phi |{|}_{\infty }.$

证明. (……)

$\square$

2分布的求导

定义 2.1 (分布的求导). 对 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 及 $\alpha \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n,$ 存在唯一的分布 ${\partial }^{\alpha }T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ),$ 使得对 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega ),⟨{\partial }^{\alpha }T,\phi ⟩=(-1{)}^{|\alpha |}⟨T,\phi ⟩.$

命题 2.2. 求导属 ${\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 上连续线性泛函.

命题 2.3. 设 $f\in C^{\infty }(\Omega ),$ 则 ${\partial }^{\alpha }{T}_f=T_{{\partial }^{\alpha }f}.$

证明. 分部积分.

$\square$

例 2.4. 设 $f\in L_{loc}^1(\mathbb{R}),$ 记 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt\in L_{loc}^1(\mathbb{R}),$ 则 $(T_F{)}^{\prime }=T_f.$

例 2.5. 设 $f(x)=\log |x|\in L_{loc}^1(\mathbb{R}),$ 则 $(T_f{)}^{\prime }=\mathrm{v}\mathrm{p}.$

例 2.6 (Heaviside step function). 考虑 Heaviside 函数 $H(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x_1,\cdots ,x_n>0\\ 0,& \mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\end{array},$ 则 $\frac{{\partial }^{n}H}{\partial x_1\cdots \partial x_n}={\delta }_0.$

定理 2.7. 假设 $\Omega$ 连通. 设 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 满足对每个 $i\in \{1,\cdots ,n\},{\partial }_{i}T=0,$ 则存在常数 $c$ 使得 $T=T_c.$

证明. 选取 $\chi \in \mathcal{D}(\Omega )$ 满足 ${\int }_{\Omega }\chi =1.$ 任取 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega ).$ 记 ${\psi }_1=\left({\int }_{\Omega }\phi \right)\chi ,{\psi }_2=\phi -{\psi }_1,$ 则 ${\psi }_1,{\psi }_2\in \mathcal{D}(\Omega )$ 并且 ${\int }_{\Omega }{\psi }_2=0.$ 由命题??? 知存在 $g_1,\cdots ,g_n\in \mathcal{D}(\Omega )$ 使得 ${\psi }_2=\sum _{i=1}^n{\partial }_i{g}_i,$ 因此 $⟨T,{\psi }_2⟩=\sum _{i=1}^n⟨T,{\partial }_i{g}_i⟩=-\sum _{i=1}^n⟨{\partial }_{i}T,g_i⟩=0.$ 进而 $⟨T,\phi ⟩=⟨T,{\psi }_1⟩=⟨T_c,\phi ⟩,$ 其中 $c=⟨T,\chi ⟩$ 为常数.

$\square$

定理 2.8 (1 维原函数的存在性). 对任何 $S\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1),$ 存在 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1)$ 使得 $T^{\prime }=S.$

证明. 选取 $0\le \chi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^1)$ 满足 ${\int }_{\mathbb{R}}\chi =1.$ 对 $\psi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^1),$ 令 $P(\psi ):{\mathbb{R}}^1\to \mathbb{R}$ 满足 $P(\psi )(x)={\int }_{-\infty }^x\left[\psi (t)-\left({\int }_{\mathbb{R}}\psi \right)\chi (t)\right]dt.$ 观察到 $P$ 是 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^1)$ 上线性泛函. 取 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^1)$ 中趋于 0 的序列 $\{{\phi }_j{\}}_{j\ge 0},$ 则对 $k\in {\mathbb{Z}}_{+},||(P({\phi }_j){)}^{(k)}|{|}_{\infty }={\left|\left|{\phi }_j^{(k-1)}-\left({\int }_{\mathbb{R}}{\phi }_j\right){\chi }^{(k-1)}\right|\right|}_{\infty }\to 0.$ 同时 $|P({\phi }_j)(x)|\le {\int }_{-\infty }^x\left[|{\phi }_j(t)|+\left({\int }_{\mathbb{R}}{\phi }_j\right)|\chi (t)|\right]dt\le {\int }_{\mathbb{R}}|{\phi }_j|+\left({\int }_{\mathbb{R}}{\phi }_j\right){\int }_{\mathbb{R}}\chi (t)dt\le 2m(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\phi }_j))||{\phi }_j|{|}_{\infty }\to 0,$ 故 $P$ 连续. 令 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1)$ 满足对所有 $\psi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^1),⟨T,\psi ⟩=-⟨S,P(\psi )⟩.$ 对 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^1),$ 由 $P({\phi }^{\prime })=\phi$ 知 $⟨T^{\prime },\phi ⟩=-⟨T,{\phi }^{\prime }⟩=⟨S,P({\phi }^{\prime })⟩=⟨S,\phi ⟩,$ 故 $T^{\prime }=S.$

$\square$

推论 2.9. 对任何 $S\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^n)$ 及 $\alpha \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n,$ 存在 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^n)$ 使得 ${\partial }^{\alpha }T=S.$

证明. 略微修改定理 2.2 的证明可得对每个 $i\in \{1,\cdots ,n\},{\partial }_i$ 是满同态, 进而结论得证.

$\square$

定理 2.10 (求导与尖括号可交换). 设 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ),\phi \in C^{\infty }(\Omega \times {\mathbb{R}}^p)$ 并且 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\phi )$ 向前 $n$ 个分量的投影是紧的, 则函数 $G:z\mapsto ⟨T,\phi (\cdot ,z)⟩$ 是光滑的, 并且对任何 $\alpha \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^p,{\partial }^{\alpha }G=⟨T,{\partial }_z^{\alpha }\phi (\cdot ,z)⟩.$

证明. (……)

$\square$

定理 2.11 (积分与尖括号可交换). 设 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ),\phi \in {\mathcal{D}}^{(}\Omega \times {\mathbb{R}}^p),$ 则 ${\int }_{{\mathbb{R}}^p}⟨T,\phi (\dot{,}z)⟩dz=⟨T,\int \phi (\cdot ,z)dz⟩.$

证明. (……)

$\square$

3函数乘法

定义 3.1 (函数乘法). 设 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ),f\in C^{\infty }(\Omega ),$ 则存在唯一的分布 $fT\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 使得对任何 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega ),⟨fT,\phi ⟩=⟨T,f\phi ⟩.$

命题 3.2. 函数乘法属 ${\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 上连续线性泛函.

命题 3.3. 对 $f,g\in C^{\infty }(\Omega )$ 及 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ),(fg)T=f(gT).$

注 3.4. 这赋 ${\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 以 $C^{\infty }(\Omega )-$ 模结构.

命题 3.5. 设 $f\in {\mathbb{C}}^{\infty }(\Omega ),g\in L_{loc}^1(\Omega ),$ 则 $f{T}_g=T_{fg}.$

定理 3.6 (Leibnizregel). 设 $f\in C^{\infty }(\Omega ),T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ),$ 则对 $\alpha \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n,$ 有 ${\partial }^{\alpha }(fT)=\sum _{\beta \le \alpha }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta }\right){\partial }^{\beta }f{\partial }^{\alpha -\beta }T.$

证明. 运用微分的 Leibnizregel.

$\square$

例 3.7. 在 ${\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1)$ 中, 有 $x\cdot \mathrm{v}\mathrm{p}=1.$

定理 3.8. 给定 $x_0\in {\mathbb{R}}^1,$ 则线性泛函 $\Phi :{\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1)\to {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1),T\mapsto (x-x_0)T$ 是满的, 并且其零空间为 $c{\delta }_{x_0},c\in \mathbb{R}.$

证明. 选取 $\chi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^1)$ 使得 $\chi (x_0)=1.$ 对 $\psi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^1),$ 令 $P(\psi )$ 满足 $P(\psi )(x)=\frac{\psi (x)-\psi (x_0)\chi (x)}{x-x_0}=\frac{\psi (x)-\psi (x_0)}{x-x_0}+\frac{\psi (x_0)(\chi (x_0)-\chi (x))}{x-x_0}.$ 根据推论??? 知 $P(\psi )\in {\mathcal{D}}^{(}{\mathbb{R}}^1),$ 因此 $P$ 是 ${\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1)$ 上线性泛函. 经过计算可以验证 $P$ 连续. 对任何 $S\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1),$ 考虑分布 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1)$ 满足对任何 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega ),⟨T,\phi ⟩=⟨S,P(\phi )⟩.$ 观察到 $P((x-x_0)\phi )=\phi ,$ 因此 $(x-x_0)T=S,$ 从而 $\Phi$ 是满的.

下面计算 $\ker \Phi .$ 显然 ${\delta }_{x_0}\in \ker \Phi .$ 反之, 设 $T\in \ker \Phi .$ 沿用满性证明中相同的 $\chi .$ 对 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^1),$ 令 ${\psi }_2=\phi (x_0)\chi ,{\psi }_1=\phi -{\psi }_1,$ 则 ${\psi }_1,{\psi }_2\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^1).$ 由推论???, 存在 $\theta \in {\mathcal{D}}^{(}{\mathbb{R}}^1)$ 使得 ${\psi }_1=(x-x_0)\theta ,$ 因此 $⟨T,\psi ⟩=⟨(x-x_0)T,\theta ⟩=0.$ 故 $⟨T,\phi ⟩=⟨T,{\psi }_2⟩=c⟨{\delta }_{x_0},\phi ⟩,$ 其中 $c=⟨T,\chi ⟩$ 为常数.

$\square$

推论 3.9. 设 $m\in {\mathbb{Z}}_{+}.$ 给定 $x_0\in {\mathbb{R}}^1,$ 则线性泛函 $\Phi :{\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1)\to {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1),T\mapsto (x-x_0{)}^{m}T$ 是满的, 并且其零空间为 $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\left\{{\delta }_{x_0}^{(0)},\cdots ,{\delta }_{x_0}^{(m-1)}\right\}.$

证明. 观察到对 $k\in {\mathbb{Z}}_{+},$ 有 $(x-x_0){\delta }_{x_0}^{(k)}=-k{\delta }_{x_0}^{(k-1)},$ 并反复运用定理 3.2 即可.

$\square$

定理 3.10 (1 维除法). 设 $f\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^1)$ 且 $f$ 的零点都是有限阶的, 则线性泛函 $\Phi :{\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1)\to {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1),T\mapsto fT$ 是满的.

证明. 记 $U_n=(-n,n),$ 则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{U}_n={\mathbb{R}}^1.$ 根据命题???, 存在完全分裂的多项式 $P$, 并且 $P$ 的根都在 $U_n$ 中, 以及 $g\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^1),$ 使得 $f{|}_{U_n}=P{|}_{U_n}g{|}_{U_n}$ 且 $g^{-1}(0)\cap U_n=\varnothing .$ 运用推论 3.1, 可以找到 $T_n\in {\mathcal{D}}^{\vee }(U_n)$ 使得 $f{|}_{U_n}{T}_n=S{|}_{U_n}.$ 现在面临的困难是 $T_{n+1}{|}_{U_n}$ 和 $T_n$ 不一定相等. 设 $f{|}_{U_n}=P{|}_{U_n}g{|}_{U_n},$ 其中 $P$ 的互异根为 $a_j,1\le j\le N,$ 并且 $a_j$ 的重数为 $m(a_j).$ 注意到 $f{|}_{U_n}(T_n-T_{n+1}{|}_{U_n})=0,$ 由推论 3.1 知存在 $c_{ij}\in \mathbb{R}$ 使得 $T_n-T_{n+1}{|}_{U_n}=\sum _{j=1}^N\sum _{i=0}^{m(a_j)-1}{c}_{ij}{\delta }_{a_j}^{(i)}.$ 自然地, 用 ${\tilde{T}}_{n+1}=T_{n+1}-\sum _{j=1}^N\sum _{i=0}^{m(a_j)-1}{c}_{ij}{\delta }_{a_j}^{(i)}$ 代替 $T_{n+1}$ 可使得 $T_{n+1}{|}_{U_n}=T_n$ 并且仍然保持 $f{|}_{U_{n+1}}{T}_{n+1}=S{|}_{U_{n+1}}.$ 因此, 由局部化原理知可找到 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1),$ 使得 $T{|}_{U_n}=T_n.$ 此时 $(fT){|}_{U_n}=f{|}_{U_n}{T}_n=S{|}_{U_n},$ 再次运用局部化原理知 $fT=S.$

$\square$

命题 3.11 (双连续性). 设 $T\in \mathcal{D}(\Omega ),$ 且在 $\mathcal{D}(\Omega )$ 中, 有一列分布 $\{T_j{\}}_{j\ge 1},T_j\to T.$ 再设 $f\in {\mathbb{C}}^{\infty }(\Omega ),\{f_j{\}}_{j\ge 1}\subset C^{\infty }(\Omega )$ 满足在任何紧集 $K\subset \Omega$ 上, 对任何 $\alpha \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n,{\partial }^{\alpha }{f}_j$ 一致收敛到 ${\partial }^{\alpha }f,$ 则在 ${\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 中, $f_j{T}_j\to fT,j\to \infty .$

证明. (……)

$\square$

4分布的支集

定义 4.1 (分布的支集). 设 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ),$ 定义 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)=\Omega \backslash \bigcup _{\begin{array}{c}U\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\Omega \\ T{|}_U=0\end{array}}U,$ 称为 $T$ 的支集.

命题 4.2. 给定 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ),$ 则对 $x\in \Omega ,x\notin \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)⟺$ 存在 $x$ 的邻域 $U\subset \Omega ,$ 使得 $T{|}_U=0.$

命题 4.3. 给定 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ),$ 则:

1.	对 $\alpha \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n,\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\partial }^{\alpha }T)\subset \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T);$
2.	对 $f\in C^{\infty }(\Omega ),\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(fT)\subset \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(f)\cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T).$

命题 4.4. 设 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ),\phi \in \mathcal{D}(\Omega ).$ 若 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)\cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\phi )=\varnothing ,$ 则 $⟨T,\phi ⟩=0.$

定理 4.5. 设 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1),x_0\in {\mathbb{R}}^1.$ 若 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)=\{x_0\},$ 则存在 $m\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 及 $c_0,\cdots ,c_m\in \mathbb{R}$ 使得 $T=\sum _{i=0}^m{c}_i{\delta }_{x_0}^{(i)}.$

证明. (……)

$\square$

5分布的阶

定义 5.1. 设 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ).$ 称 $T$ 是有限阶的, 如果存在 $m\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 使得对任何紧集 $K\subset \Omega ,$ 存在 $C<\infty$ 使得对 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega ),$ 只要 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\phi )\subset K,$ 就有 $|⟨T,\phi ⟩|\le C\underset{|\alpha |\le m}{\sup }||{\partial }^{\alpha }\phi |{|}_{\infty }.$ 满足要求的最小的 $m$ 称为 $T$ 的阶.

例 5.2. $T=\sum _{k=0}^{\infty }{\delta }_k^{(k)}\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^1)$ 不是有限阶的.

6分布的 Green-Stokes 公式和跃度公式

定理 6.1 (分布的 Green-Stokes 公式). 设 $U$ 是 $\Omega$ 中有界带边光滑区域 ¹, 则对任何 $i\in \{1,\cdots ,n\},{\partial }_i{1}_U=N_i^{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}\sigma ,$ 其中 $1_U\subset L_{loc}^1(\Omega )$ 是 $U$ 的特征函数, $N^{ext}$ 是单位外法向量, $\sigma$ 是 $\partial U$ 上的子流形测度.

证明. 运用标准的 Green-Stokes 公式.

$\square$

定理 6.2. 设 $U$ 是 $\Omega$ 中有界带边光滑区域, $\Sigma =\partial U\subset \Omega$ 且 $C^1.$ 设 $f\in C^1(\Omega \backslash \Sigma )$ 满足

1.	存在 $\epsilon >0$, 使得 $f{|}_U$ 可被延拓至 $C^1(\bar{U}+B_{\epsilon });$
2.	存在 $\epsilon >0$, 使得 $f{|}_{\Omega \backslash \bar{U}}$ 可被延拓至 $C^1((\Omega \backslash U)+B_{\epsilon }),$

则 $f\in L_{loc}^1(\Omega )$ 且对 $i\in \{1,\cdots ,n\},{\partial }_i{T}_f=T_{{\partial }_{i}f}+[f{]}_{\Sigma }{N}_i^{ext}\sigma ,$ 其中 $N^{ext}$ 是单位外法向量, $\sigma$ 是 $\Sigma$ 上的子流形测度, $[f{]}_{\Sigma }(a)=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }f(a+\epsilon N^{ext}(a))-\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }f(a-\epsilon N^{ext}(a))$ 是 $f$ 在 $a$ 处的跃度.

证明. 任取 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega ),$ 由于 $\Sigma =\partial U$ 在 $\Omega$ 中是零测的, 故 $⟨{\partial }_i{T}_f,\phi ⟩=-⟨T_f,{\partial }_i\phi ⟩=-{\int }_{U}f{\partial }_i\phi -{\int }_{\Omega \backslash \bar{U}}f{\partial }_i\phi .$ 分别在两个区域上用 Green-Stokes 公式即可.

$\square$

推论 6.3. 设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 分段 $C^1,$ 并且有第一类间断点 $a_1<\cdots <a_n,$ 则 $(T_f{)}^{\prime }=T_{f^{\prime }}+\sum _{i=1}^n[f](a_i){\delta }_{a_i},$ 其中 $[f](a_i)=f(a_i^{+})-f(a_i^{-}).$

7分布的张量积

在本节中, 固定 ${\Omega }_1,{\Omega }_2$ 分别是 ${\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m$ 中开集, $T_1\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\Omega }_1),T_2\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\Omega }_2).$

定义 7.1 (分布的张量积). 定义张量积 $T_1\otimes T_2\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\Omega }_1\times {\Omega }_2)$ 满足对任何 $\phi \in \mathcal{D}({\Omega }_1\times {\Omega }_2),⟨T_1\otimes T_2,\phi ⟩=⟨T_1,\rho ⟩,$ 其中 $\rho (x)=⟨T_2,\phi (x,\cdot )⟩\in \mathcal{D}({\Omega }_1).$

证明. 利用求导和尖括号可交换.

$\square$

注 7.2. 没有理由表明 $T_2\times T_2=T_2\times T_1,$ 甚至定义域都对不上.

例 7.3. 对 $a\in {\mathbb{R}}^n,b\in {\mathbb{R}}^m,{\delta }_a\otimes {\delta }_b={\delta }_{(a,b)}.$

例 7.4. 设 $a\in {\mathbb{R}}^p,S\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ),$ 则对任何 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^p\otimes \Omega ),⟨{\delta }_a\otimes S,\phi ⟩=⟨S,\phi (a,\cdot )⟩.$

定理 7.5 (分布的张量积的泛性质). $T=T_1\times T_2$ 是 ${\Omega }_1\times {\Omega }_2$ 上唯一的分布, 满足对所有 ${\phi }_1\in \mathcal{D}({\Omega }_1),{\phi }_2\in \mathcal{D}({\Omega }_2),⟨T,{\phi }_1\otimes {\phi }_2⟩=⟨T_1,{\phi }_1⟩⟨T_2,{\phi }_2⟩.$

证明. 验证 $T=T_1\otimes T_2$ 确实满足要求等式. 另一方面, 如果 $\tilde{T}$ 是另一个满足要求的分布, 任取 $\phi \in \mathcal{D}({\Omega }_1\times {\Omega }_2),$ 根据定理???, 存在一列 $\{{\phi }_j{\}}_{j\ge 1}\subset \mathcal{D}({\Omega }_1)\otimes \mathcal{D}({\Omega }_2)$ 使得在 $\mathcal{D}({\Omega }_1\times {\Omega }_2)$ 中, ${\phi }_j\to \phi .$ 由条件知对每个 $j,⟨T-\tilde{T},{\phi }_j⟩=0,$ 因此 $⟨T-\tilde{T},\phi ⟩=\underset{j\to \infty }{\lim }⟨T-\tilde{T},{\phi }_j⟩=0,$ 故 $T=\tilde{T}.$

$\square$

推论 7.6 (分布的 Fubini 定理). 对任何 $\phi \in \mathcal{D}({\Omega }_1\times {\Omega }_2),⟨T_1\otimes T_2,\phi ⟩=⟨T_2,\theta ⟩,$ 其中 $\theta (y)=⟨T_1,\phi (\cdot ,y)⟩\in \mathcal{D}({\Omega }_2).$

证明. 验证如上定义的张量积也满足泛性质.

$\square$

定理 7.7. $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T_1\otimes T_2)=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T_1)\times \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T_2).$

证明. 观察到 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T_1)\times \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T_2)\subset \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T_1\otimes T_2).$ 反之, 任取 $x=(x_1,x_2)\in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T_1\otimes T_2).$ 对任何 $r>0,$ 只要 $B_r(x_1)\subset {\Omega }_1,B_r(x_2)\subset {\Omega }_2,$ 存在 $\phi \in \mathcal{D}(B_r(x_1)\times B_r(x_2))$ 使得 $⟨T_1\otimes T_2,\phi ⟩\ne 0.$ 根据定理???, 存在 ${\phi }_1\in \mathcal{D}(B_r(x_1)),{\phi }_2\in \mathcal{D}(B_r(x_2))$ 使得 $⟨T_1\otimes T_2,{\phi }_1\otimes {\phi }_2⟩\ne 0.$ 由定理 7.1, 这即表明 $⟨T_1,{\phi }_1⟩\ne 0,⟨T_2,{\phi }_2⟩\ne 0,$ 这即表明 $x_1\in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T_1),X_2\in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T_2).$

$\square$

命题 7.8. 对 $i\in \{1,\cdots ,m+n\},{\partial }_i(T_1\otimes T_2)=\{\begin{array}{cc}({\partial }_i{T}_1)\otimes T_2,& i\le n\\ T_1\otimes ({\partial }_{i-n}{T}_2),& i>n\end{array}.$

证明. 利用求导和尖括号可交换.

$\square$

命题 7.9. 设在 ${\mathcal{D}}^{\vee }({\Omega }_1)$ 中 $T_n\to T,n\to \infty ,$ 在 ${\mathcal{D}}^{\vee }({\Omega }_2)$ 中 $S_n\to S,n\to \infty ,$ 则在 ${\mathcal{D}}^{\vee }({\Omega }_1\times {\Omega }_2)$ 中,$T_n\otimes S_n\to T\otimes S.$

证明. (……)

$\square$

定理 7.10. 设 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\Omega }_1\times {\Omega }_2),$

1.	若对每个 $i\in \{1,\cdots ,n\},(x_i-a_i)T=0,$ 则存在 $S\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\Omega }_2)$ 使得 $T={\delta }_a\otimes S,$ 其中 $a=(a_1,\cdots ,a_n).$
2.	若对每个 $i\in \{1,\cdots ,n\},{\partial }_{i}T=0,$ 则存在 $S\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\Omega }_2)$ 使得 $T=1\otimes S.$

8分布的卷积

在本节中, 固定映射 $s:{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n,(x,y)\mapsto x+y.$ 对 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n),$ 令 ${\phi }^{\Delta }=\phi \circ s,$ 即 ${\phi }^{\Delta }(x,y)=\phi (x+y).$ 为了简单起见, 本节中主要讨论 ${\mathbb{R}}^n$ 上的试验函数与分布.

定义 8.1. 设 $F$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的闭子集, 定义 $\mathcal{E}(F,\Omega )=\{\phi \in C^{\infty }(\Omega ):\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\phi )\cap F\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\}.$ 观察到 $\mathcal{D}(\Omega )\subset \mathcal{E}(F,\Omega ).$

命题 8.2. 设 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega ),$ 则存在唯一 $\mathcal{E}(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T),\Omega )$ 上连续线性泛函 $\hat{T}$ 满足

1.	$\hat{T}{|}_{\mathcal{D}(\Omega )}=T;$
2.	对任何 $\{{\phi }_j{\}}_{j\ge 1}\subset C^{\infty }(\Omega ),$ 如果存在紧集 $K\subset \Omega$ 使得 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\phi }_j)\cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)\subset K,$ 并且对任何 $\alpha \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n,{\partial }^{\alpha }{\phi }_j$ 一致收敛到 ${\partial }^{\alpha }\phi ,$ 则 $⟨\hat{T},{\phi }_j⟩\to ⟨\hat{T},\phi ⟩.$

证明. 任取 $\phi \in \mathcal{E}(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T),\Omega ),$ 由点集拓扑性质可知存在开集 $U$ 使得 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)\cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\phi )\subset U\subset \bar{U}\subset \Omega .$ 取 $\chi \in \mathcal{D}(\Omega )$ 使得 $\chi {|}_U=1.$ 定义 $⟨\hat{T},\phi ⟩=⟨T,\chi \phi ⟩.$

首先要验证上述定义是良好的. 假设 ${\chi }_1,{\chi }_2\in \mathcal{D}(\Omega )$ 满足 ${\chi }_1{|}_U={\chi }_2{|}_U=1,$ 则有 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(({\chi }_1-{\chi }_2)\phi )\cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)=\varnothing ,$ 故 $⟨T,({\chi }_1-{\chi }_2)\phi ⟩=0.$ 进一步也可以观察到定义不依赖于开集 $U$ 的选取.

接下来现在线性性. 任取 ${\phi }_1,{\phi }_2\in \mathcal{E}(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T),\Omega ),$ 则 $(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)\cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\phi }_1))\cup (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)\cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\phi }_2))$ 是 $\Omega$ 中紧集. 取开集 $U$ 使得 $(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)\cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\phi }_1))\cup (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)\cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\phi }_2))\subset U\subset \bar{U}\subset \Omega ,$ 则存在 $\chi \in \mathcal{D}(\Omega )$ 使得 $\chi {|}_U=1.$ 因此 $⟨\hat{T},{\phi }_1+{\phi }_2⟩=⟨T,\chi ({\phi }_1+{\phi }_2)⟩=⟨T,\chi {\phi }_1⟩+⟨T,\chi {\phi }_2⟩=⟨\hat{T},{\phi }_1⟩+⟨\hat{T},{\phi }_2⟩,$ 线性性得证.

最后验证连续性. 取一列 $\{{\phi }_j{\}}_{j\ge 1}\subset \mathcal{E}(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T),\Omega )$ 使得存在紧集 $K\subset \Omega$ 以及 $\phi \in \mathcal{E}(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T),\Omega ),$ 使得对所有 $j\ge 1,\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\phi }_j)\cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)\subset K$ 并且对任何 $\alpha \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n,{\partial }^{\alpha }{\phi }_j$ 一致收敛到 ${\partial }^{\alpha }\phi .$ 取 $\chi \in \mathcal{D}(\Omega ),$ 使得 $\chi$ 在 $K$ 的一个小邻域上恒为 1. 由 Leibnizregel 知 ${\partial }^{\alpha }(\chi {\phi }_j)$ 一致收敛到 ${\partial }^{\alpha }(\chi \phi ),$ 故 $⟨\hat{T},{\phi }_j⟩=⟨T,\chi {\phi }_j⟩\to ⟨T,\chi \phi ⟩=⟨\hat{T},\phi ⟩,$ 连续性得证.

$\square$

定义 8.3 (可卷性). 设 $F,G$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中闭集. 称 $F,G$ 为可卷的 ², 如果对 ${\mathbb{R}}^n$ 中任何紧集 $K,s^{-1}(K)\cap (F\times G)$ 在 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n$ 中是紧的. 称分布 $T,S\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^n)$ 是可卷的, 如果 $\{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T),\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(S)\}$ 是可卷的.

命题 8.4. 设 $T,S\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^n)$ 是可卷的,$\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n),$ 则 ${\phi }^{\Delta }\in \mathcal{E}(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T\otimes S),\Omega ).$

证明. 只需注意 $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\phi }^{\Delta })\cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T\otimes S)=s^{-1}(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\phi ))\cap (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)\times \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(S))$ 是紧的.

$\square$

定义 8.5 (分布的卷积). 设 $T,S\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^n),T,S$ 可卷, 则 $\left[\phi \mapsto ⟨\widehat{T\otimes S},{\phi }^{\Delta }⟩\right]\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^n),$ 记为 $T\ast S,$ 称为分布 $T$ 和 $S$ 的卷积.

证明. 对 ${\phi }_1,{\phi }_2\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n),$ 由 $({\phi }_1+{\phi }_2{)}^{\Delta }={\phi }_1^{\Delta }+{\phi }_2^{\Delta }$ 知 $T\ast S$ 是线性泛函. 余下要检验连续性. 设 $\{{\phi }_j{\}}_{j\ge 1}$ 是 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 中趋于 0 的一列试验函数. 注意到对任何 ${\alpha }_1,{\alpha }_2\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n,{\partial }_x^{{\alpha }_1}{\partial }_y^{{\alpha }_2}({\phi }_j^{\Delta }(x,y))={\partial }_x^{{\alpha }_1}{\partial }_y^{{\alpha }_2}({\phi }_j(x+y))={\partial }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}{\phi }_j(x+y),$ 因此 ${\phi }_j^{\Delta }$ 在 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n)$ 中趋于 0, 从而 $⟨T\ast S,{\phi }_j⟩=⟨\widehat{T\otimes S},{\phi }_j^{\Delta }⟩\to 0,$ 连续性得证.

$\square$

例 8.6. 设 $f,g\in L_{loc}^1({\mathbb{R}}^n)$ 且 $T_f,T_g$ 可卷, 则 $f\ast g\in {\text{L}}_{loc}^1({\mathbb{R}}^n)$ 且 $T_f\ast T_g=T_{f\ast g}.$

证明.

对紧集 $K\subset {\mathbb{R}}^n,{\int }_K\left|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x-y)g(y)dy\right|dx\le \int {\int }_{{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n}{1}_K(x)|f(x-y)g(y)|dxdy=\int {\int }_{{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n}{1}_K(x+y)|f(x)g(y)|dxdy.$ 由于 $s^{-1}(K)\cap (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(f)\times \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(g))$ 是紧的, 结合 $f,g$ 局部可积可知 $f\ast g\in L_{loc}^1({\mathbb{R}}^n).$

$\square$

任取 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n),$ 取 $\chi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 使得 $\chi$ 在 $s^{-1}(\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\phi ))\cap (\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(f)\times \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(g))$ 的一个小邻域上恒为 1, 则 $⟨T_f\ast T_g,\phi ⟩=⟨\widehat{T_f\otimes T_g},{\phi }^{\Delta }⟩=⟨T_f\otimes T_g,\chi {\phi }^{\Delta }⟩=⟨T_{f\otimes g},{\phi }^{\Delta }⟩=\int {\int }_{{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n}f(x)g(y)\phi (x+y)\chi (x,y)dxdy={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x-y)g(y)\chi (x-y,y)dy\right)\phi (x)dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x-y)g(y)dy\right)\phi (x)dx=⟨T_{f\ast g},\phi ⟩.$

例 8.7. 设 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\mathbb{R}}^n),f\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 并且 $T,f$ 可卷, 则 $T\ast f\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 并且 $T\ast f(x)=⟨\hat{T},f(x-\cdot )⟩.$

9技术性的工作

定理 9.1 (鼓包函数). $\mathcal{D}(\Omega )\ne 0.$

证明. 不妨设 $B_0(1)\subset \Omega ,$ 则 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega ),$ 其中 $\phi (x)=\{\begin{array}{cc}\exp \left(-\left(\frac{1}{1-|x{|}^2}\right)\right),& |x|<1\\ 0,& \mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\end{array}.$

$\square$

注 9.2. 上述构造的函数 $\phi$ 是非负的, 称为 $\Omega$ 上的一个鼓包函数.

定理 9.3 (截断函数). 设紧集 $K\subset \Omega ,$ 则存在 $\chi \in \mathcal{D}(\Omega )$ 使得 $\chi {|}_K=1.$

证明. 考虑局部紧 Hausdorff 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的 Aleksándrov 紧化 ${{\mathbb{R}}^n}^{\star }$, 其为紧 Hausdorff 空间. 注意到 $K$ 和 ${{\mathbb{R}}^n}^{\star }\backslash \Omega$ 是 ${{\mathbb{R}}^n}^{\star }$ 中不交闭集, 由 Urysón 引理得连续函数 $f:{{\mathbb{R}}^n}^{\star }\to \mathbb{R}$ 满足 $f{|}_K=1,f{|}_{{{\mathbb{R}}^n}^{\star }\backslash \Omega }=0.$ 之后做光滑化.

$\square$

定理 9.4 (单位分解). 设 $\{U_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \Lambda }$ 构成 $\Omega$ 的一个开覆盖, 则存在 $\{{\phi }_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \Lambda }\subset C^{\infty }(\Omega )$ 满足:

1.	${\phi }_{\lambda }\ge 0$;
2.	$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\phi }_{\lambda })\subset U_{\lambda }$;
3.	对任意紧集 $K\subset \Omega ,$ 仅有有限个 ${\phi }_{\lambda }$ 不恒为 $0$;
4.	对任意 $x\in \Omega ,\sum _{\lambda \in \Lambda }{\phi }_{\lambda }(x)=1.$

定理 9.5 (局部化原理). 设 $\{{\Omega }_i{\}}_{i\in I}$ 是 $\Omega$ 的一个开覆盖. 假设存在分布 $T_i\in {\mathcal{D}}^{\vee }({\Omega }_i)$ 满足对任何 $j,k\in I,T_j{|}_{{\Omega }_j\cap {\Omega }_k}=T_k{|}_{{\Omega }_j\cap {\Omega }_k},$ 则存在唯一的分布 $T\in {\mathcal{D}}^{\vee }(\Omega )$ 使得对任何 $i\in I,T{|}_{{\Omega }_i}=T_i.$

定理 9.6 (Lemme de Hadamard). 假定 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中星形凸的开集. 设 $f\in C^{\infty }(U),$ 则对任何 $a\in U,$ 存在 $g_1,\cdots ,g_n\in C^{\infty }(U)$ 使得对任何 $x\in U,f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^n(x_i-a_i)g_i(x).$

证明. 根据 Newton-Leibniz 公式及链式法则, $f(x)-f(a)={\int }_0^1\frac{d}{dt}\left(f(a+t(x-a))\right)dt={\int }_0^1\sum _{i=1}^n(x_i-a_i){\partial }_{i}f(a+t(x-a))dt=\sum _{i=1}^n(x_i-a_i){\int }_0^1{\partial }_{i}f(a+t(x-a))dt.$

$\square$

推论 9.7. 假定 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中星形凸的开集. 设 $f\in C^{\infty }(U),a\in U,$ 则 $f(a)=0⟺$ 存在 $g_1,\cdots ,g_n\in C^{\infty }(U)$ 使得对任何 $x\in U,f(x)=\sum _{i=1}^n(x_i-a_i)g_i(x).$

命题 9.8. 设 $M$ 是连通的 $n$ 维光滑流形, 则其第 $n$ 个紧支集 de Rham 上同调群 $H_c^n(M)=\mathbb{R},$ 并且 $S:H_c^n(M)\to \mathbb{R},[\omega ]\mapsto {\int }_M\omega$ 为线性同构.

推论 9.9. 假设 $\Omega$ 连通. 设 $\phi \in \mathcal{D}(\Omega ),$ 则 ${\int }_{\Omega }\phi =0⟺$ 存在 ${\psi }_1,\cdots ,{\psi }_n\in \mathcal{D}(\Omega )$ 使得 $\phi =\sum _{i=1}^n{\partial }_i{\psi }_i.$

证明. 分部积分得到充分性. 下面考虑必要性. 在紧支集 de Rham 上同调理论中, 我们知道 $H_c^n(\Omega )=\mathbb{R},$ 并且有 $\mathbb{R}-$ 线性同构 $S:H_c^n(\Omega )\to \mathbb{R},[\omega ]\mapsto {\int }_{\Omega }\omega .$ 将 $0-$ 形式 $\phi$ 等同于 $n-$ 形式 $\phi d{x}^1\wedge \cdots \wedge d{x}^n$ 即得到证明.

$\square$

命题 9.10. 设 $f\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^1)$ 且 $f$ 的零点都是有限阶的, 则对任何闭区间 $[\alpha ,\beta ]\subset {\mathbb{R}}^1,f$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上只有有限个零点.

定理 9.11. 设 ${\Omega }_1,{\Omega }_2$ 分别是 ${\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m$ 中开集, 则 $\mathcal{D}({\Omega }_1)\otimes \mathcal{D}({\Omega }_2)$ 在 $\mathcal{D}({\Omega }_1\times {\Omega }_2)$ 中稠密. 这里 $\mathcal{D}({\Omega }_1)\otimes \mathcal{D}({\Omega }_2)$ 做的是 $\mathbb{R}-$ 模上的张量积.

命题 9.12. 设 $F,G\subset {\mathbb{R}}^n$ 是可卷的闭集, 则 $F+G$ 是闭集.