用户: Eli/物理/Mechanics/The Equations of Motion

1广义坐标

考虑由时空中 $N$ 个粒子构成的力学系统 $\Gamma$. 我们并不先验地定义什么叫做力学系统, 而是根据生活中的物理现象进行不完全归纳. 下面的概念在经验上都是合理的.

定义 1.1 (自由度). 描述 $\Gamma$ 空间位置的独立变量数称该系统的自由度.

我们生活在三维世界里, 故单粒子的自由度为 $3$. 类似的, 由刚性棒连接的双粒子的自由度为 $5$.

定义 1.2 (广义坐标). 描述 $\Gamma$ 位置用到的独立变量 $(q_1,\cdots ,q_s)$ 称广义坐标, 它们是时间变量 $t$ 的光滑函数.

2最小作用量原则

设 $q$ 是 $\Gamma$ 的一组广义坐标. 从实验可知, 力学系统 $\Gamma$ 的运动由其在某一时刻 $t$ 的位置 $q$ 及速度 $\dot{q}$ 唯一确定.

定理 2.1 (最小作用量原则). 我们可以给每个力学系统 $\Gamma$ 赋予一个函数 $L(q,\dot{q},t)$, 满足以下条件: 假设在时刻 $t_1,t_2$ 之间, $\Gamma$ 的位置从 $q^{(1)}$ 变为 $q^{(2)}$. 则 $\Gamma$ 的运动使得积分$$S={\int }_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt$$(1)在所有数学上可能的运动中取最小值.

$L$ 称为该系统的拉格朗日量, $S$ 称为一个作用量.

对积分 (1) 作变分, 我们得到:

定理 2.2 (拉格朗日方程). 系统的力学运动满足方程$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0(i=1,2,\cdots ,s).$$(2)

由方程 (2), 系统在某时刻的位置和速度决定了系统的运动, 因此最小作用量原则和实验相符.

3伽利略相对性原理

目前为止我们并没有讨论过时空的具体结构, 以及如何用一些变量来描述系统.

定义 3.1 (时空). 时空是一个配备欧式内积的实四维仿射空间.

我们通常将其分解为三维空间与一维空间的正交直和, 分别代表空间与时间.

定义 3.2 (参考系). 参考系由空间中的一个直角坐标系, 以及时间中的一个单位向量组成. 其中直角坐标系随时间变量 $t$ 光滑变化.

参考系的例子有餐桌转盘, 或者正在前进的列车. 它们相对地面参考系分别在转动和平动.

一旦我们选取了一个参考系, 时空中的每个点便被赋予了一个四维坐标 $(\text{r},t)$. 实践中, 我们更关心时空点与四维坐标的对应关系, 而不是时空的数学模型或参考系的具体选取. 这与概率论中测度空间和随机变量的关系类似.

有了时空坐标之后, 描述力学系统的独立变量便可以看作空间坐标 $\text{r}$ 的一个函数. 但关于什么是独立性的问题, 则需要在具体问题中进行归纳.

在第一、二节, 我们默认选取了这样的参考系, 使得最小作用量原理成立.

伽利略变换时间平移

4术语翻译

运动方程: equations of motion
广义坐标: generalized co-ordinates
自由度: degrees of freedom
最小作用量原则: principle of least action, or Hamilton’s principle
时刻: instant
拉格朗日量: Lagrangian
作用量: action
拉格朗日方程: Lagrange’s equation
伽利略相对性原理: Galileo’s relativity principle
时空: space-time
参考系: frame of reference