用户: Eli/物理/Mechanics/Motion in central field

1牛顿方程

我们考虑单粒子在三维空间有心力场 $\mathbb{F}$ 中的运动. 有心力场均为保守场, 且对应势能在旋转下不变, 记为 $U(r)$. 设粒子质量为 $1$.

对于该系统, 牛顿运动方程为$$\ddot{\text{r}}=-\frac{\partial U}{\partial \text{r}}=-U^{\prime }{\text{e}}_r.$$(1)

粒子对原点的角动量 $\text{M}:=\text{r}\times \dot{\text{r}}$ 满足$$\frac{d\text{M}}{dt}=\dot{\text{r}}\times \dot{\text{r}}+\text{r}\times \ddot{\text{r}}=0.$$(2)

即角动量守恒. 粒子在垂直于角动量的平面运动, 在极坐标 $(r,\phi )$ 下, 角动量守恒、能量守恒写成$$M=r^2\dot{\phi },E=\frac{1}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2)+U(r).$$(3)

由于系统自由度为 $2$, 牛顿方程 (1) 和守恒量列出的运动方程 (3) 等价.

另一方面, 牛顿方程 (1) 对应的拉格朗日量 $L=T-U$ 在极坐标下为$$L=\frac{1}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2)-U(r).$$(4)

拉格朗日方程给出$$\frac{d}{dt}(r^2\dot{\phi })=0,\ddot{r}=r{\dot{\phi }}^2-\frac{\partial U}{\partial r}.$$(5)

由拉格朗日方程、牛顿方程等价性, 知 (1)(5) 等价. 容易看出 (5) 的第一项即角动量守恒, 且第二项可由 (3) 式推出, 故 (3)(5) 等价.

由此可见运动方程可以有多种表现方式: 牛顿方程最直观, 可用实验验证, 也是高中物理的重点; 守恒量 (运动方程的积分) 用不变的量刻画了系统的运动; 拉格朗日方程使用广义坐标, 将守恒量隐藏在广义速度中.

(5) 式进一步变为自由度为 $1$ 的系统: $$\ddot{r}=-\frac{\partial V}{\partial r},V=U+\frac{M^2}{2r^2}.$$(6)

其中 $V$ 称原系统的等效势能. 该一维系统的守恒量为 $E_1=(1/2){\dot{r}}^2+V$.

2行星运动的分析

万有引力场对应的势能 $U(r)=-k/r$, 这里 $k$ 为正常数, 与星体质量成正比.

等效势能的图像说明, $E_1\ge 0$ 时粒子将飞向无穷远处, $E_1<0$ 时粒子在有界的轨道上作周期运动. $E_1=E$ 为原系统的能量.

$M/2$ 的几何意义是两星体连线在单位时间扫过的面积, 因此角动量守恒即开普勒第二定律. 该定律没有用到万有引力与距离的关系.

3哈密顿方程

保守系统的拉格朗日量, 在极坐标 $(r,\phi )$ 下

对 $L$ 的广义速度作 Legendre 变换, 得到系统的哈密顿量$$H(p_1,p_2,q_1,q_2)$$(7)

4术语翻译

牛顿方程: Newton’s equation
有心力场: central field
保守: conservative
等效势能: effective potential energy
哈密顿方程: Hamilton’s equation

术语翻译

除法 • 英文 division • 德文 Division (f) • 法文 division (f) • 拉丁文 divisio (f)

商 • 英文 quotient • 德文 Quotient (m) • 法文 quotient (m) • 拉丁文 quotiens (m)