用户: Eli/毕设/Strichartz估计的凝聚紧性

$$\{\begin{array}{rl}& i{\partial }_{t}u+\Delta u=0\\ & u(0,x)=\phi (x)\in {\dot{H}}^1({\mathbb{R}}^3)\end{array}\text{\hspace{1em}(LS)}$$

定义能量 $E(v)=\frac{1}{2}{\int }_{{\mathbb{R}}^3}|\nabla v(0,x){|}^{2}dx$.

1凝聚紧性的证明

定理 1.1 (定理 1.6). 设 $\{{\phi }_n\}\subset {\dot{H}}^1$ 有界, $v_n$ 是 (LS) 的解. 那么, 在取子列后, 存在一列波包 $(V^j)$, 一列尺度 $(h^j)$ 及中心 $(t^j,x^j)$, 使得

1.	$(h^j,t^j,x^j)$ 两两正交.
2.	任意 $l\ge 1$, 有$$v(t,x)=\sum _{j=1}^l\frac{1}{\sqrt{h^j}}{V}^j\left(\frac{t-t^j}{(h^j{)}^2},\frac{x-x^j}{h^j}\right)+w^l(t,x).$$
3.	${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\Vert w_n^l{\Vert }_{L^q{L}^r}\to 0$, 当 $l\to \infty$ 时. 其中 $(q,r)$ 是 ${\dot{H}}^1$ 允许对.
4.	$E(v_n)={\sum }_{j=1}^{l}E(V^j)+E(w_n^l)+o(1)$.

命题 1.2 (命题 2.6). 设 $P=\{P_n\}$ 是线性 Schrödinger 方程的一组解, 满足 $\{\Lambda P_n\}$ 在 $L^2$ 中有界, 且为 $1$ 振荡的. 那么在取子列后, 存在一组波包 (即方程的解) $V^{\alpha }(t,x)$ 及一组中心 $(t^{\alpha },x^{\alpha })$, 使得

1.	$|t_n^{\alpha }-t_n^{\beta }|+|x_n^{\alpha }-x_n^{\beta }|\to \infty$.
2.	任意 $A\ge 1$, 有$$P_n(t,x)=\sum _{\alpha =1}^A{V}^{\alpha }(t-t_n^{\alpha },x-x_n^{\alpha })+P_n^A(t,x).$$
3.	${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\Vert P_n^A{\Vert }_{L^q{L}^r}\stackrel{A\to \infty }{⟶}0$.
4.	$E(P_n)={\sum }_{\alpha =1}^{A}E(V^{\alpha })+E(P_n^A)+o(1)$.

考虑平移下的弱极限点集$$V(P)=\{Q(t,x)\text{解 (LS)}:P_{n_k}(t_k,\cdot +x_k)\stackrel{{\dot{H}}^1}{\rightharpoonup }Q(0)\}$$并定义 $\gamma (P)={\sup }_{Q\in V(P)}\Vert Q(0){\Vert }_{{\dot{H}}^1}$.

引理 1.3. $$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\Vert P_n{\Vert }_{L^{\infty }{L}^6}\lesssim C_R\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}E(P_n{)}^{1/3}\gamma (P{)}^{2/3}+\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\Vert 1_{|\xi |\le \frac{1}{R}\cup |\xi |\ge R}\widehat{\Lambda P_n}{\Vert }_{L^2}.$$

证明. 取 $\psi (x)\in \mathcal{S}$ 使得 $\hat{\psi }$ 在 $\{\frac{1}{R}\le |\xi |\le R\}$ 上取 $1$, 且支集含于圆环. 我们有$$P_n=\psi \ast P_n+({\delta }_0-\psi )\ast P_n.$$由 Strichartz 不等式$$\Vert P_n{\Vert }_{L^{\infty }{L}^6}\lesssim \Vert \psi \ast P_n{\Vert }_{L^{\infty }{L}^6}+\Vert 1_{|\xi |\le \frac{1}{R}\cup |\xi |\ge R}\widehat{\Lambda P_n}{\Vert }_{L^2}.$$而$$\Vert \psi \ast P_n{\Vert }_{L^{\infty }{L}^6}\le \Vert \psi \ast P_n{\Vert }_{L^{\infty }{L}^{\infty }}^{2/3}\Vert \psi \ast P_n{\Vert }_{L^{\infty }{L}^2}^{1/3}{\lesssim }_R\Vert \psi \ast P_n{\Vert }_{L^{\infty }{L}^{\infty }}^{2/3}E(P_n{)}^{1/3}.$$由单位球弱 * 紧性, $$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\Vert \psi \ast P_n{\Vert }_{L^{\infty }{L}^{\infty }}=\underset{(t,x)}{\sup }\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\left|\int \psi (-x)P_n(t_n,x+x_n)dx\right|{\lesssim }_R\gamma (P).$$

$\square$

只需要构造波包及中心, 使得 $P^A$ 是 “一致” $1$ 振荡的, 且 $\gamma (P^A)\to 0$, 结合上述不等式即得 ${\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\Vert P_n^A{\Vert }_{L^q{L}^r}\stackrel{A\to \infty }{⟶}0$.