用户: Eli/拓扑/Ext函子与延拓

固定 $R$ 为主理想整环. 当 $i>1$ 时, ${\mathrm{Ext}}^i(A,B)=0$ 对任意 $R$ 模成立. 下面记 $\mathrm{Ext}(A,B)={\mathrm{Ext}}^1(A,B)$.

$B$ 对于 $A$ 的一个延拓指如下的短正合列(1)也即 $B$ 为 $E$ 的子模, 使得商模为 $A$.

例如, 当 $R=\mathbb{Z},A=B={\mathbb{Z}}_2$ 时, 穷举得到两个延拓:(2)

固定 $A,B$, 延拓在如下交换图的意义下划分为等价类: (3)由五引理, 中间的箭头是同构.

定理 0.1. 设 $A,B$ 为 $R$ 模, $B$ 对于 $A$ 的延拓的等价类与 $\mathrm{Ext}(A,B)$ 一一对应.

取 $0\to C_1\to C_0\to A\to 0$ 为 $A$ 的一个自由消解. 每个延拓 (1) 给出链映射: (4)在链同伦下唯一, 因此确定了$$\mathrm{hom}(C_1,B)/\mathrm{im}(\mathrm{hom}(C_0,B)\to \mathrm{hom}(C_1,B))\approx \mathrm{Ext}(A,B)$$中的一个元素. 将图表 (4)(3) 接在一起, 可以看出等价的延拓对应相同的元素.

反之, 给定 $f_1\in \mathrm{hom}(C_1,B)$, 构造延拓如下: $$E=B\oplus C_0/\{(f_1(x),-x):x\in C_1\}.$$易知这给出 $\mathrm{Ext}(A,B)$ 到延拓等价类的映射. 命题得证. 而 $\mathrm{Ext}(A,B)$ 还给出了延拓等价类的模结构.