用户: Eli/拓扑/Euler示性数与覆叠层数

类似 Galois 对应, 覆叠空间的层数和基本群的阶数相等. 我们也可以也用同调的方法计算覆叠层数.

命题 0.1. 设 $\tilde{X},X$ 的同调群有限生成, $p:\tilde{X}\to X$ 是一个 $2$ 层覆叠映射. 则 $\chi (\tilde{X})=2\cdot \chi (X)$.

证明. 由提升判别法, 任意的 $\sigma :{\Delta }^n\to X$ 可以提升为 $\tilde{X}$ 上的两个奇异单形 ${\tilde{\sigma }}_1,{\tilde{\sigma }}_2$. 构造转移映射 $\tau :C_n(X)\to C_n(\tilde{X})$, $$\tau (\sigma )={\tilde{\sigma }}_1+{\tilde{\sigma }}_2.$$它们是链映射 (!), 且满足正合列$$0\to C_n(X;{\mathbb{Z}}_2)\stackrel{\tau }{⟶}{C}_n(\tilde{X};{\mathbb{Z}}_2)\stackrel{p_{\ast }}{⟶}{C}_n(X;{\mathbb{Z}}_2)\to 0.$$由线性代数知 $\chi (\tilde{X})=2\cdot \chi (X)$.

$\square$

上命题中 $\tilde{X},X$ 换成有限 CW 复形, 则对任意层数的覆叠都对. 对于一般的空间则没有类似的结果 (yl 目前找不到证明或证伪) .

术语翻译

转移映射 • 英文 transfer homomorphism