用户: Eli/拓扑/双原点直线

双原点直线 $\mathbb{R}\cup \{\ast \}$ 的拓扑基由 $\mathbb{R}$ 上的开区间及 $(-ϵ,0)\cup \{\ast \}\cup (0,ϵ)$ 构成. 作为初步的性质, $\mathbb{R}\cup \{\ast \}$ 是一个不 Hausdorff 的一维流形, 也是一个 T1 的空间.

命题 0.1. $\mathbb{R}\cup \{\ast \}$ 的基本群为 $\mathbb{Z}$.

证明.

方法一: Van Kampen

直接划分并不容易, 要把空间加厚一些, 考虑映射锥的构造.

取 $f:{\mathbb{S}}^1\to \mathbb{R}\cup \{\ast \}$ 表示出我们假想的基本群生成元, 则映射锥 $M_f$ 仍是 T1 的空间. 考虑开覆盖 $U=M_f-\{\ast \}$, $V=M_f-\{0\}$.

$U$ 有形变收缩核 ${\mathbb{S}}^1\times I-\{(i,0)\}$, 其中 $(z,0)$ 与 $(\bar{z},0)$ 粘合. 它可以继续形变收缩为 ${\mathbb{S}}^1\times \{1\}$. 类似的 $V,U\cap V$ 都可以形变收缩为小圆. 由 Van Kampen, $\mathbb{R}\cup \{\ast \}$ 的基本群为 $\mathbb{Z}$, 生成元由 $f$ 给出.

方法二: Fibration

考虑映射 $f:{\mathbb{R}}^2-\{(0,0)\}\to \mathbb{R}\cup \{\ast \}$, 它将 y 轴正半轴映到 $\ast$, 负半轴映到 $0$, 其余地方是投影.

$f$ 给出 $\mathbb{R}\cup \{\ast \}$ 上一个 $\mathbb{R}$-纤维丛 (考虑 $\varphi (x,y)=(x,y-x^2/4y)$), 因此 $f$ 是弱同伦等价, 基本群由 ${\mathbb{R}}^2-\{(0,0)\}$ 给出.

$\square$

命题 0.2. $\mathbb{R}\cup \{\ast \}$ 不具有 CW 复形的同伦型.

证明. 设 $f:\mathbb{R}\cup \{\ast \}\to X$ 是一个同伦等价. 由 $X$ Hausdorff 知 $f(0)=f(\ast )$, 从而 $f$ 将 $\mathbb{R}\cup \{\ast \}$ 基本群生成元映到 $X$ 中零伦道路, 矛盾!

$\square$