用户: Eli/多复变函数/算子bar partial的解

本节的目的是在特定条件下构造 $\bar{\partial }f=u$ 的解, 并给出第一个关于全纯延拓的定理 (Hartogs) . 有趣的是, 这种现象在单复变的情况并不成立.

1全纯延拓的一个例子

命题 1.1. 设 $\overline{D(0,{ϵ}^{\prime })}\subset D(0,ϵ)$ 为 ${\mathbb{C}}^n$ 中的两个多圆盘. 若 $n>1$, 则任意全纯函数 $f:D(0,ϵ)\backslash \overline{D(0,{ϵ}^{\prime })}\to \mathbb{C}$ 可以全纯延拓至 $D(0,ϵ)$.

证明. 与 Riemann 可去奇点定理类似, 此定理是 Cauchy 积分公式的简单推论.
取 $\delta \in ({ϵ}_1^{\prime },{ϵ}_1)$, 并设$${\Omega }_0=\{z\in D(0,ϵ):|z_1|<\delta \}，{\Omega }_1=\{z\in D(0,ϵ):|z_1|<\delta ,|z_2|>{ϵ}_2^{\prime }\}.$$定义全纯函数 $g:{\Omega }_0\to \mathbb{C}$ 如下$$g(z_1,\cdots ,z_n)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|\xi |=\delta }\frac{f(\xi ,z_2,\cdots ,z_n)}{\xi -z_1}d\xi .$$(1)则 $f,g$ 在 ${\Omega }_1$ 上相等 (为什么? ) , 由第一节命题 2.5 知 $f,g$ 合成 $D(0,ϵ)$ 上的全纯函数.

$\square$

即便有 Riemann 可去奇点定理, 该命题对 $n=1$ 的情形不成立.

2$\bar{\partial }$ 算子的解

设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 为开集. 考虑 $\Omega$ 上的微分一形式$$\omega =\sum _1^n(f_{j}d{z}_j+g_{j}d{\bar{z}}_j),$$(2)方程 $\bar{\partial }u=\omega$ 有解的必要条件是 $\omega$ 是 $(0,1)$-形式, 且 $\bar{\partial }\omega =0$, 也即$$f_j=0,\frac{\partial g_j}{\partial {\bar{z}}_k}=\frac{\partial g_k}{\partial {\bar{z}}_j}.$$(3)当 $\Omega ={\mathbb{C}}^n,n>1$ 且 $\omega$ 有紧支集时上述条件也是充分的.

命题 2.1. 设 $\omega$ 为 ${\mathbb{C}}^n$ 上具有紧支集的 $C^k(k>0)$ 的 $(0,1)$-形式, 即在 (2) 式中 $g_j\in C_c^k({\mathbb{C}}^n)$. 若 $n>1$, 则有 $u\in C_c^k({\mathbb{C}}^n)$ 使 $\bar{\partial }u=\omega$.

证明. 考虑积分公式$$u(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathbb{C}}\frac{g_1(z_1+\tau ,z_2,\cdots ,z_n)}{\tau }d\tau \wedge d\bar{\tau }.$$(4)可以看出 $u\in C^k({\mathbb{C}}^n)$. 由 Cauchy-Pompeiu 公式 (第一节) 知 ${\bar{\partial }}_{j}u=g_j$. 下面说明 $u$ 有紧支集: 由于 $g_j$ 有紧支集, $u$ 在以 $0$ 为中心的一个闭多圆盘外全纯. 而 (4) 式说明 $|z_2|>>1$ 时 $u=0$. 由全纯延拓唯一性 $u$ 在闭多圆盘外恒为 $0$.

$\square$

注 2.2. 在命题 2.1 的条件下, 进一步有 $\text{supp}(u)\subset \text{supp}(\omega )$.

在 $n=1$ 时, 利用 (4) 式仍可给出方程的解, 但此时 $u$ 不一定有紧支集, 即便它在无穷远处衰减到 $0$.

3全纯延拓的 Hartogs 定理

下面是本节最重要的一个定理, 它归功于 Hartogs.

定理 3.1 (Hartogs). 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 为开集, $n>1$, 且 $K$ 为 $\Omega$ 的一个紧子集. 若 $\Omega \backslash K$ 连通, 则限制映射 $\mathcal{O}(\Omega )\to \mathcal{O}(\Omega \backslash K)$ 为满射.

证明. 设 $\phi \in C_c^{\infty }(\Omega )$ 在 $K$ 的一个邻域上为 $1$. 对任意的 $u\in \mathcal{O}(\Omega \backslash K)$, 令 $u_0=(1-\phi )u$ 为 $\Omega$ 上的光滑函数. $$\bar{\partial }{u}_0=-u\bar{\partial }\phi$$(5)可视为 ${\mathbb{C}}^n$ 上有紧支集的光滑 $(0,1)$-形式, 且有 $\bar{\partial }(-u\bar{\partial }\phi )=0$. 由命题 2.1 可以找到 $v\in C_c^{\infty }({\mathbb{C}}^n),\bar{\partial }v=\bar{\partial }{u}_0$. 因此 $\tilde{u}=u_0-v\in \mathcal{O}(\Omega )$. 由注 2.2 知 $\text{supp}(v)\subset \text{supp}(\phi )$, $(\tilde{u}-u){|}_{\Omega \backslash \text{supp}(\phi )}=0$. 而 $\Omega \backslash K$ 连通, 故 $\tilde{u}$ 是 $u$ 的全纯延拓.

$\square$

Hartogs 定理在 $n=1$ 的情况有反例, 比如 $1/z$ 并不能全纯延拓到 $0$ 点.

(上次编辑: 10/13)