用户: Eli/多复变函数/全纯函数的基本性质

单复变中全纯函数的很多性质可以平行推广到多复变. 本节无意把单复变的理论重复一遍, 只是举一些例子.

1Cauchy 积分公式

回忆两个定义: 单复变中的开圆盘 $D(a,r):=\{z\in \mathbb{C}:|z-a|<r\}$. 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 为开集, 对 $f\in C^1(\Omega ,\mathbb{C})$ 有如下微分运算: $$\partial f=\sum _1^n\partial f/\partial z_{j}d{z}_j,\bar{\partial }f=\sum _1^n\partial f/\partial {\bar{z}}_{j}d{\bar{z}}_j.$$(1)

定义 1.1. 开多圆盘指形如 $D(a,r):=\prod D(a_j,r_j)$ 的区域, 其中 $a\in {\mathbb{C}}^n$ 为中心 $，r\in {\mathbb{R}}_{>0}^n$ 为半径. 其特殊边界定义为 ${\partial }_{0}D(a,r)=\prod \partial D(a_j,r_j)$.

注意开多圆盘的特殊边界与其在 ${\mathbb{C}}^n$ 中拓扑边界是不同的.

定义 1.2 (全纯函数). 设 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 为开集. 称 $f:\Omega \to \mathbb{C}$ 全纯, 若 $f\in C^1$, 且 $\bar{\partial }f=0$. 记 $\Omega$ 上全纯函数全体为 $\mathcal{O}(\Omega )$.

事实上我们可以赢得更多正则性: Hartogs 证明了对各分量全纯的连续函数也是全纯函数. 容易验证 $\mathcal{O}(\Omega )$ 是复向量空间, 且在函数加法、乘法下构成一个环.

由单复变中的 Cauchy 积分公式及对维数归纳, 我们很容易得到开多圆盘版本的 Cauchy 积分公式:

定理 1.3 (Cauchy 积分公式). 设 $\overline{D(a,r)}\subset \Omega$, 则 $f\in \mathcal{O}(\Omega )$ 有积分表示$$f(z_1,\cdots ,z_n)=\frac{1}{(2\pi i{)}^n}{\int }_{{\partial }_{0}D(a,r)}\frac{f({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n)}{({\xi }_1-z_1)\cdots ({\xi }_n-z_n)}d\xi ,$$(2)其中 $z\in D(a,r)$. 当 $z\notin D(a,r)$ 时 (2) 的右式为 $0$.

2基本推论

作为 Cauchy 积分公式及 Lebesgue 控制收敛的直接推论, 我们得到

推论 2.1. 设 $\overline{D(a,r)}\subset \Omega$, 则 $f\in \mathcal{O}(\Omega )$ 在 $D(a,r)$ 上光滑, 且对 $z\in D(a,r)$ 有$$f^{(\alpha )}(z)=\frac{\alpha !}{(2\pi i{)}^n}{\int }_{{\partial }_{0}D(a,r)}\frac{f(\xi )}{(\xi -z{)}^{\alpha +1}}d\xi .$$(3)

这里 $f^{(\alpha )}:=(\frac{\partial }{\partial z_1}{)}^{{\alpha }_1}\cdots (\frac{\partial }{\partial z_n}{)}^{{\alpha }_n}f$, 且 $\alpha +1=({\alpha }_1+1,\cdots ,{\alpha }_n+1)$.

推论 2.2 (Cauchy 不等式). 设 $\overline{D(a,r)}\subset \Omega$, 则$$|f^{(\alpha )}(a)|\le \frac{\alpha !}{r^n}\underset{{\partial }_{0}D(0,r)}{\sup }|f|.$$(4)

下面的推论说明 $\mathcal{O}(\Omega )$ 配上半范数 $\{\Vert \cdot {\Vert }_{L^{\infty }(K)}:K\subset \Omega \text{紧集}\}$ 是 Fréchet 空间, 这也给出了 $\mathcal{O}(\Omega )$ 上的拓扑线性空间结构.

推论 2.3. 设 $f_k\in \mathcal{O}(\Omega )$ 在紧集上一致收敛到 $f:\Omega \to \mathbb{C}$, 则 $f$ 在 $\Omega$ 上全纯. 进一步, 有 $f_k^{(\alpha )}$ 在紧集上一致收敛到 $f^{(\alpha )}$.

证明. 对 $\Omega$ 中任意闭多圆盘 $\overline{D(a,r)}$, 由一致收敛知 (2) 式对 $f$ 成立. 由 Lebesgue 控制收敛及积分表示知 $f$ 光滑且满足 Cauchy-Riemann 方程. 导数的收敛性由推论 2.1 可得.

$\square$

由下面的 Montel 定理, Fréchet 空间 $\mathcal{O}(\Omega )$ 具有 Heine-Borel 性质, 即其中的有界闭集必为紧集.

定理 2.4 (Montel 定理). 设 $f_k\in \mathcal{O}(\Omega )$ 在紧集上一致有界, 则有子列 $f_{k_j}$ 在紧集上一致收敛到 $f\in \mathcal{O}(\Omega )$.

证明. 由 Arzelà-Ascoli 定理及 Cauchy 不等式.

$\square$

最后一个命题给出了全纯延拓的唯一性, 其证明用到了全纯函数的幂级数展开:

命题 2.5. 设 $\Omega$ 连通, $f\in \mathcal{O}(\Omega )$. 若 $f$ 在 $\Omega$ 的某个开子集上为 $0$, 则 $f=0$.

3非齐次 Cauchy-Riemann 方程

下面再介绍一个很有用的公式, 它是 Stokes 公式的推论.

定理 3.1 (非齐次 Cauchy-Riemann 方程). 设 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 是有界带边光滑区域, $f$ 在 $\overline{\Omega }$ 的开邻域上 $C^1$, 则 $\forall z\in \Omega$ $$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\partial \Omega }\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi +\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Omega }\frac{\bar{\partial }f(\xi )}{\xi -z}d\xi \wedge d\bar{\xi }.$$(5)