用户: Eli/多复变函数/一维模型

先回顾几个单复变函数论中的问题. 我们将用合适的语言重新表述这些问题, 并在多复变情形进行自然的推广.

1Cauchy 积分公式

设开集 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 的边界 $C^1$. 考虑非齐次的 Cauchy-Riemann 方程$$\{\begin{array}{rl}& \bar{\partial }u=f\\ & u{|}_{\partial \Omega }=g\end{array}$$(1)

定理 1.1 (Cauchy). 设 $u\in C^1(\bar{\Omega })$, 我们有$$u(z)=\frac{1}{2\pi i}\left\{{\int }_{\partial \Omega }\frac{u(\xi )}{\xi -z}d\xi +{\int }_{\Omega }\frac{\bar{\partial }u(\xi )}{\xi -z}d\xi \wedge d\bar{\xi }\right\}.$$(2)

证明. 取 $D(z,r)\subset \subset \Omega$, 由 Stokes 公式, 我们有$${\int }_{\Omega -D(z,r)}\frac{\bar{\partial }u(\xi )}{\xi -z}d\xi \wedge d\bar{\xi }={\int }_{\Omega -D(z,r)}d\left(-\frac{u(\xi )}{\xi -z}d\xi \right)=-{\int }_{\partial \Omega }\frac{u(\xi )}{\xi -z}d\xi +{\int }_{\partial D(z,r)}\frac{u(\xi )}{\xi -z}d\xi .$$令 $r\to 0$ 即可.

$\square$

2Runge 逼近定理

设 $K\subset \mathbb{C}$ 为紧集, 考虑 $K$ 邻域上全纯函数的多项式逼近问题. 例 2.2 给出一个 “反例 “. 而 Runge 定理告诉我们, 在一维情形可以用有理函数逼近紧集上的全纯函数.

定理 2.1 (Runge). 设 $K\subset \omega$, $u$ 是 $\omega$ 上的全纯函数. 则 $u$ 可以被极点在 $\mathbb{C}-K$ 上的有理函数在 $K$ 上一致逼近. 进一步, 我们可以在 $\mathbb{C}-K$ 的每个连通分支内各指定一个点, 使得选取的有理函数的极点只落在指定点内.

例 2.2.

•	当 $\mathbb{C}-K$ 连通时, $K$ 邻域上全纯函数可以用多项式逼近.
•	${\mathbb{S}}^1$ 邻域上的全纯函数可以用 $\mathbb{C}[z,\frac{1}{z}]$ 中的有理函数逼近.
•	“反例”, $1/z$ 不能在 ${\mathbb{S}}^1$ 上被多项式逼近.

定理 2.1 的证明. $\left(C(K),\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }\right)$ 上的线性泛函由 $K$ 上的复 Radon 测度 $\nu$ 给出. 只用证明若 $\nu$ 与有理函数垂直, 则 $\nu$ 与 $u$ 垂直, 再由引理 2.3 即可推出一致逼近的结论.
取截断函数 $K\prec \varphi \prec \omega$. 由 Cauchy 积分公式, $$u(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\omega }\frac{u(\bar{\partial }\varphi )}{\xi -z}d\xi \wedge d\bar{\xi }(z\in K).$$(3)上面的积分可以取在 $\omega -K$ 上, 因此由 Fubini 知 ${\int }_{K}ud\nu =0$.

进一步, 任取 Radon 测度 $\nu$, 考虑 $\mathbb{C}-K$ 上的全纯函数$$f(z)={\int }_K\frac{1}{\xi -z}d\xi .$$如果 $\nu$ 与极点在指定点处的有理函数垂直, 则 $f$ 在 $\mathbb{C}-K$ 的各连通分支中有一点各阶导数消失, 因此 $f\equiv 0$. 由上一段的讨论即知 $\nu$ 与 $u$ 垂直.

$\square$

引理 2.3. $X$ 为局部凸拓扑线性空间, $M\subset X$ 为子空间, $x_0\notin \bar{M}$. 则存在 $\Lambda \in X^{\ast }$, $\Lambda {|}_M=0$, $\Lambda (x_0)=1$.

注 2.4. 细究这个证明, 我们需要取分段光滑的简单闭曲线围住 $\phi$ 的支集, 才能使用 Stokes 公式.
(3) 式右边的积分对应的 Riemann 和给出 $z$ 的有理函数, 用 Lebesgue 数可以证明 Riemann 和在紧集上的逼近. 另外, 全纯函数 $f$ 反映的某种局部不变的性质 (类似定向覆叠) , 也可以直接用幂级数展开说明. 泛函分析提供了一种话术, 让我们更清晰地知道证明中发生了什么.

重新表述例 2.2 第一点: 对任意紧集 $K\subset \mathbb{C}$, 若其补集连通, 则 $K$ 邻域上的全纯函数可用 $\mathbb{C}$ 逼近. 下面考虑一般区域 $\Omega$ 上的全纯函数逼近问题.
先引入全纯凸包的概念:

定义 2.5. 设 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 为开集, $K\subset \Omega$ 为紧集. 定义 $K$ 的 $\mathcal{O}(\Omega )$-凸包为$${\hat{K}}_{\Omega }:=\{z\in \Omega :|f(z)|\le \underset{K}{\sup }|f|,\forall f\in \mathcal{O}(\Omega )\}.$$

命题 2.6. $d({\hat{K}}_{\Omega },{\Omega }^c)=d(K,{\Omega }^c)$. 特别的, ${\hat{K}}_{\Omega }$ 仍为紧集.

证明. 任取 $p\in {\Omega }^c,w\in {\hat{K}}_{\Omega }$, 有$$\left|\frac{1}{w-p}\right|\le \underset{K}{\sup }\left|\frac{1}{z-p}\right|=\frac{1}{d(K,p)}.$$故 $d(K,{\Omega }^c)\le d({\hat{K}}_{\Omega },{\Omega }^c)$. 另一方向显然.

$\square$

我们有如下关于全纯凸包的拓扑刻画:

命题 2.7. ${\hat{K}}_{\Omega }$ 是 $K$ 与 $\Omega -K$ 在 $\Omega$ 中相对紧的连通分支之并.

证明. 若存在 $\Omega -K$ 的连通分支 $U$ 在 $\Omega$ 中相对紧, 即 $\bar{U}\subset \Omega$ 为紧集且 $\partial U\subset K$. 由极大模原理即知 $\bar{U}\subset {\hat{K}}_{\Omega }$.
再证明 ${\hat{K}}_{\Omega }$ 只包含这些点. 设 $V$ 是 $\Omega -K$ 的连通分支, 不在 $\Omega$ 中相对紧. 则 $\mathbb{C}-K$ 的包含 $V$ 的连通分支也包含 $\Omega$ 外的点. 对 $\forall q\in V$, 由定理 2.1 的第二个陈述的证明, 有 $f\in \mathcal{O}(\Omega )$, ${\Vert f-1/(z-q)\Vert }_K<ϵ$. 故 $\Vert (z-q)f-1{\Vert }_K<ϵ$, $q\notin {\hat{K}}_{\Omega }$.

$\square$

定理 2.8. 设 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 为开集, $K\subset \Omega$ 紧. 则下述等价:
(1) 在 $K$ 邻域上的全纯函数可以被 $\Omega$ 上全纯函数在 $K$ 上一致逼近.
(2) ${\hat{K}}_{\Omega }=K$.

证明. $(2)\Rightarrow (1)$: 由命题 2.7, $\Omega -K$ 的连通分支都不在 $\Omega$ 中相对紧. 因此在 $\mathbb{C}-K$ 的每个连通分支中, 都能找到 $\Omega$ 外的一点. 由 Runge 定理, 可以用极点在 $\Omega$ 外的有理函数逼近 $K$ 领域上的全纯函数.
$(1)\Rightarrow (2)$: 设 $p\notin K$, 则 $1/(z-p)$ 在 $K$ 的邻域上全纯. 存在 $f\in \mathcal{O}$, $\Vert f-1/(z-p){\Vert }_K<<1$. 令 $g=(z-p)f-1$, 则有$$\underset{K}{\sup }|g|<<1<g(p).$$故 $p\notin {\hat{K}}_{\Omega }$.

$\square$

由命题 2.7, ${\hat{K}}_{\Omega }=K$ 只是 $\Omega -K$ 没有在 $\Omega$ 中相对紧连通分支的另一表述. 但实际上在高维情形, 定理 2.8 仍然成立, 但 ${\hat{K}}_{\Omega }$ 没有简单的拓扑刻画.

例 2.9. 由 Hartogs 延拓现象, $n\ge 2$ 时 $\Omega =D(0,3)-\overline{D(0,1)}$ 上的全纯函数可以延拓至 $D(0,3)$ 上, 因此 $\mathbb{S}(0,2)$ 在 $\Omega$ 中的全纯凸包为 $\overline{D(0,2)}-\overline{D(0,1)}$.

下面考虑两个开集的全纯函数逼近问题:

定理 2.10. 设 ${\Omega }_1\subset {\Omega }_2\subset \mathbb{C}$ 为开集, 下述等价:
(1) $\mathcal{O}({\Omega }_2){|}_{{\Omega }_1}$ 在 $\mathcal{O}({\Omega }_1)$ 中稠密.
(2) 若 ${\Omega }_2-{\Omega }_1$ 写为 ${\Omega }_2$ 中闭集 $F$ 和紧集 $L$ 的不交并, 则 $L$ 是空集.
(3.1) $\forall K\subset {\Omega }_1$ 紧, 有 ${\hat{K}}_{{\Omega }_2}={\hat{K}}_{{\Omega }_1}$.
(3.2) $\forall K\subset {\Omega }_1$ 紧, 有 ${\hat{K}}_{{\Omega }_2}\cap {\Omega }_1={\hat{K}}_{{\Omega }_1}$.
(3.3) $\forall K\subset {\Omega }_1$ 紧, 有 ${\hat{K}}_{{\Omega }_2}\cap {\Omega }_1$ 紧.

请读者自行证明.

3Mittag-Leffler 定理

设 $F$ 为 $\Omega$ 上亚纯函数. 在 $\zeta \in \Omega$ 附近, $F$ 具有两种表示方式:
(1) $F(z)={\sum }_n^{\infty }{A}_k(z-\zeta {)}^{-k}$, 其中 $A_n$ 非零.
(2) $F(z)=(z-\zeta {)}^{n}G(z)$, $G$ 在 $\zeta$ 附近全纯且非零.
整数 $n$ 称为 $F$ 在 $\zeta$ 处的阶数. 根据这两种表示方式, 反过来可以问出两个关于亚纯函数的构造性的问题.

定理 3.1 (Mittag-Leffler). 设 $\{z_j\}\subset \Omega$ 在 $\Omega$ 中没有聚点, $f_j$ 为 $z_j$ 邻域上的亚纯函数. 存在 $f\in \mathcal{M}(\Omega )$, 使得 $f-f_j$ 在 $z_j$ 邻域上全纯.

证明. 取 $K_j$ 为上升紧集, 并为 $\Omega$, ${\hat{K}}_j=K_j$, 且 $j\to \infty$ 时, $\mathrm{Int}{K}_j$ 包含 $\Omega$ 中所有紧集. 通过取子列, 假设 $z_j\in \mathrm{Int}{K}_j$.
考虑 $f_j$ 在 $z_j$ 处的主值, 假设 $f_j$ 是极点在 $z_j$ 的有理函数. 存在 $g_j\in \mathcal{O}(\Omega )$, $\Vert f_j-g_j{\Vert }_{K_j}<1/2^j$. 我们 “多退少补”, 考虑 $f={\sum }_1^{\infty }(f_j-g_j)$ 即可.

$\square$

更有启发性的, 上述定理还可由 $\Omega$ 上 “$\bar{\partial }$ 问题的可解性” 来证明.

定理 3.2. 对任意 $g\in C^{\infty }(\Omega )$, 存在 $u\in C^{\infty }(\Omega )$, 使得 $\bar{\partial }u=g$.

证明. 取 $K_j\nearrow \Omega$ 紧, ${\hat{K}}_j=K_j$, 且 $j\to \infty$ 时, $\mathrm{Int}{K}_j$ 包含 $\Omega$ 中所有紧集. 通过取子列, 设 $K_j\subset \mathrm{Int}{K}_{j+1}$. 取截断函数 $K_j\prec {\varphi }_j\prec \mathrm{Int}{K}_{j+1}$.
由 Cauchy 积分公式, 存在 $v_j\in C^{\infty }(\mathrm{Int}{K}_{j+1})$, 使得 $\bar{\partial }{v}_j={\varphi }_{j}g$. $v_{j+1}-v_j$ 在 $K_j$ 的邻域上全纯, 有 $f_j\in \mathcal{O}(\Omega )$, 使得$$\Vert v_{j+1}-v_j-f_j{\Vert }_{K_j}<\frac{1}{2^j}.$$令 $u_j=v_j-{\sum }_1^{j-1}{f}_k$, 则 $u_j$ 在 $C^{\infty }(\Omega )$ 中收敛到 $u$. 又在 $K_j$ 上 $\bar{\partial }{u}_j=g$, 故分布意义下 $\bar{\partial }{u}_j\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{\to }g$. 因此 $\bar{\partial }u=g$.

$\square$

定理 3.3. 设 $\Omega ={\cup }_j{\Omega }_j$ 是开覆盖. $g_{jk}\in \mathcal{O}({\Omega }_j\cap {\Omega }_k)$, 满足条件$$g_{jk}=-g_{kj},g_{jk}+g_{kl}+g_{lj}=0\text{在}{\Omega }_j\cap {\Omega }_k\cap {\Omega }_l.$$则存在 $g_j\in \mathcal{O}({\Omega }_j)$, 使得在 ${\Omega }_j\cap {\Omega }_k$ 上有 $g_{jk}=g_k-g_j$.

这就是著名的 Cousin 第一问题, 由此自然地引出层的上同调的概念.

4Weierstrass 定理