用户: Eli/复几何/复线性代数

1近复结构

$V$ 是一个有限维实线性空间.

定义 1.1. $V$ 上的线性变换 $J$ 称一个近复结构, 若 $J^2=-I_n$.

由条件知 $J$ 可对角化, 特征值为 $\pm \sqrt{-1}$. 而 $J$ 是实矩阵, 故 $V$ 的维数是 $2n$. 取 $V$ 的一组基 $\frac{\partial }{\partial x_i},\frac{\partial }{\partial y_i}(i=1,\cdots ,n)$, 使得$$J\frac{\partial }{\partial x_i}=\frac{\partial }{\partial y_i},J\frac{\partial }{\partial y_i}=-\frac{\partial }{\partial x_i}.$$(1)

记 $V_{\mathbb{C}}:=V\otimes \mathbb{C}$ 是 $V$ 的复化. $V_{\mathbb{C}}$ 作为复线性空间, 具有一组基$$\frac{\partial }{\partial z_i}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x_i}-i\frac{\partial }{\partial y_i}\right),\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_i}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x_i}+i\frac{\partial }{\partial y_i}\right).$$(2)

 

由于 $V_{\mathbb{C}}$ 是实空间的复化, 其上有一个自然的共轭作用:

定义 1.2. 复数共轭诱导 $V_{\mathbb{C}}$ 上的共轭线性同构$$\begin{array}{rl}{V}_{\mathbb{C}}& \to V_{\mathbb{C}}\\ v& \mapsto \bar{v}.\end{array}$$

在共轭作用下, (2) 式的记号与定义 1.2 一致.

定义 1.3. $J$ 诱导 $V_{\mathbb{C}}$ 的直和分解 $V_{\mathbb{C}}=V^{\prime }\oplus V^{\prime \prime }$. 其中 $V^{\prime }$ 是 $i$-特征子空间, $V^{\prime \prime }$ 是 $(-i)$-特征子空间. 在一组基下, $V^{\prime },V^{\prime \prime }$ 分别由 $\frac{\partial }{\partial z_i},\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_i}$ 张成. 共轭作用是 $V^{\prime },V^{\prime \prime }$ 的共轭线性同构.

${\mathbb{C}}^n$ 上每一点处切空间具有一个自然的近复结构. 事实上, $z_i=x_i+i{y}_i$ 就是 ${\mathbb{C}}^n$ 的一组实坐标. 复开集之间的映射是双全纯映射当且仅当映射保持上述近复结构. 因此, 复 $n$ 维流形可以理解为一个实 $2n$ 维流形, 切丛上配有一个近复结构 $J$, 局部上满足 (1) 式, 且存在一个坐标图册, 其转移映射保持近复结构.

一般来说, 近复结构 $J$ 局部上不具有 (1) 的形式, 我们称这类流形为近复流形.

出于某种一致性, 我们希望复流形的复切空间和切空间是一个东西, 这就是如下命题:

命题 1.4. $V$ 配上近复结构 $J$ 是一个复 $n$-维线性空间, 通过映射 $v\mapsto 1/2(v-iJv)$ 与 $V^{\prime }$ 自然地同构. 同理, $V$ 的共轭空间 $\bar{V}$ 与 $V^{\prime \prime }$ 自然同构.

注意上述同构实际上把 $\frac{\partial }{\partial x_i}$ 对应为 $\frac{\partial }{\partial z_i}$. 我们有时会将配近复结构的切丛 $(TM,J)$ 和全纯切丛 $T^{\prime }M$ 视为同一个全纯向量丛. (在微分几何里主要关心前者, 而后者在线性代数的计算上更有优势)

2复外代数

定义 2.1. $V_{\mathbb{C}}^{\ast }$ 是 $V$ 的先复化再对偶, 或者先对偶再复化. 同样地, 也有 $V_{\mathbb{C}}^{\ast }={\mathrm{Hom}}_{\mathbb{R}}(V,\mathbb{C})$.

设 $d{x}_i,d{y}_i$ 是 $\frac{\partial }{\partial x_i},\frac{\partial }{\partial y_i}$ 的实对偶基. 那么复对偶空间 $V_{\mathbb{C}}^{\ast }$ 具有一组基$$d{z}_i=d{x}_i+id{y}_i,d{\bar{z}}_i=d{x}_i-id{y}_i.$$(3)

容易看到, (3) 式是 (2) 式的复对偶基.

定义 2.2. 我们有直和分解 $V_{\mathbb{C}}^{\ast }=V^{\prime \ast }\oplus V^{\prime \prime \ast }$, 其中 $V^{\prime \ast }$ 中的线性映射在 $V^{\prime }$ 上消失. $V^{\prime \ast }$ 自然同构于 $V^{\prime }$ 的对偶. 在一组基下, 它们分别由 $d{z}_i,d{\bar{z}}_i$ 张成.

对 $\phi \in V_{\mathbb{C}}^{\ast }$, 定义 $\bar{\phi }(v)=\overline{\phi (\bar{v})}$. 这给出 $V_{\mathbb{C}}^{\ast }$ 到自身的共轭线性同构. 这里的定义与 (3) 式的记号是一致的.

类似于张量积, 可以对单个线性空间定义 $r$-外积. ¹

定义 2.3. ${\Lambda }^r{V}_{\mathbb{C}}^{\ast }$ 是线性空间 $V_{\mathbb{C}}^{\ast }$ 的 $r$-外积. 它是 ${\Lambda }^r{V}_{\mathbb{C}}$ 的对偶空间, 或者 $V_{\mathbb{C}}$ 上 $r$-交错线性型的空间. 复外代数定义为$$\Lambda V_{\mathbb{C}}^{\ast }=⨁{\Lambda }^r{V}_{\mathbb{C}}^{\ast }.$$(4)我们有直和分解$${\Lambda }^r{V}_{\mathbb{C}}^{\ast }=\underset{p+q=r}{⨁}{\Lambda }^{p,q}{V}^{\ast }.$$(5)其中 ${\Lambda }^{p,q}{V}^{\ast }={\Lambda }^p{V}^{\prime \ast }\otimes {\Lambda }^q{V}^{\prime \prime \ast }$.

利用直和分解 (5) , 我们可以将复化外微分分解$$d=\partial +\bar{\partial }.$$(6)

1.	具体定义见《从微积分到上同调》.