用户: Eli/复几何/同调论回顾

1层系数上同调

设 $\mathcal{F}$ 是空间 $X$ 上的一个层. 我们采用拓扑空间的描述: 层指一个连续映射 $\pi :\mathcal{F}\to X$, 其中 $\pi$ 是满射、局部同胚. 下述引理说明, 这样定义的层实际上隐含了层化的过程.

引理 1.1. 对 $x\in X$, $\mathcal{F}$ 在 $x$ 处的纤维 ${\mathcal{F}}_x$ 与在 $x$ 处的芽 ${\lim }_{\to }\Gamma (U,\mathcal{F})$ 自然同构.

当 $\mathcal{F}$ 的纤维是 Abel 群时, 用 $H^i(X,\mathcal{F})$ 记 $X$ 的取值在 $\mathcal{F}$ 中的上同调群. 我们采用 Cěch 的方式定义上同调 ¹, 而将零调消解的定义作为其性质. 更系统来讲还有使用导出函子的定义. 但是在复几何中, Cěch 上同调的概念已经够用了.

定义 1.2. 层 $\mathcal{F}$ 称为松弛的, 若任意开集 $U\subset X$, 限制映射 $\Gamma (X,\mathcal{F})\to \Gamma (U,\mathcal{F})$ 是满射; 称为细的, 若 $\mathcal{F}$ 可以看成 $\mathcal{O}$-模层, 且环层 $\mathcal{O}$ 可以单位分解: 对 $X$ 的任意开覆盖 $\{U_i{\}}_{i\in I}$, 存在相应的截面 $\{s_i{\}}_{i\in I}$, 满足

(1)	$\mathrm{supp}{s}_i\subset U_i$, 且局部有限.
(2)	${\sum }_i{s}_i=1$.

仿紧空间 $X$ 上的连续函数环层 ${\mathcal{C}}_X$, 流形上的光滑形式层 ${\Omega }^p$ 都是细层. 松弛层的例子在下面也会见到.

引理 1.3. 考虑层 $\mathcal{F}\to X$. 若对任意开子集 $Y\subset X$ 及其上的一组开覆盖 $\mathcal{V}$, 有 $H^1(\mathcal{V},\mathcal{F}{|}_Y)=0$, 则 $\mathcal{F}$ 对 $X$ 的任何开覆盖零调.

证明. 任取 $X$ 的开覆盖 $\mathcal{U}$, 我们用 Zorn 引理 ² 直接证明 $H^p(\mathcal{U},\mathcal{F})=0$. 设 $\phi$ 是 $\mathcal{F}$ 关于 $\mathcal{U}$ 的一个 $p$-闭链. 考虑二元组 $(\mathcal{V},\psi )$ 全体, 其中 $\mathcal{V}$ 是 $\mathcal{U}$ 的子覆盖, $\psi$ 是 $\mathcal{V}$ 上的 $(p-1)$-链, 使得 $\delta \psi =\phi {|}_{\mathcal{V}}$.

取一个极大的 $(\mathcal{V},\psi )$, 并假设存在 $U_i\in \mathcal{U}-\mathcal{V}$. 我们要将 $\psi$ 延拓到 $\mathcal{V}\cup \{U_i\}$ 上. 使用交错的 Cěch 余链复形, 并考虑$$Y:=\bigcup _{\mathcal{V}}V\cap U_i,\mathcal{W}:=\{W_j|W_j=U_j\cap U_i,U_j\in \mathcal{V}\}.$$(1)则 $\mathcal{F}{|}_Y$ 是 $Y$ 上的松弛层. 定义 $\psi -{\phi }_i\in C^{p-1}(\mathcal{W},\mathcal{F}{|}_Y)$, 其在 $W_{i_1}\cap \cdots \cap W_{i_p}$ 上的取值是$${\psi }_{i_1,\cdots ,i_p}-{\phi }_{i,i_1,\cdots ,i_p}.$$(2)易知 $\psi -{\phi }_i$ 是闭的. 由 $H^{p-1}(\mathcal{W},\mathcal{F}{|}_Y)=0$ (归纳假设! ) , 存在 $\mathcal{W}$ 上的 $(p-2)$-链 $g$, 使得$$\psi -{\phi }_i=\delta g.$$(3)对任意的 $U_{i_0},\cdots ,U_{i_{p-1}}\in \mathcal{V}$, 定义$$\{\begin{array}{rl}& {\tilde{\psi }}_{i,i_1,\cdots ,i_{p-1}}=g_{i_1,\cdots ,i_{p-1}},\\ & {\tilde{\psi }}_{i_0,\cdots ,i_{p-1}}={\psi }_{i_0,\cdots ,i_{p-1}},\\ & \text{其余自然延拓}.\end{array}$$则 $\tilde{\psi }\in C^{p-1}(\mathcal{V}\cup \{U_i\})$, 且 $\delta \tilde{\psi }=\phi$. 这与 $(\mathcal{V},\psi )$ 的极大性矛盾. 这说明必有 $\mathcal{V}=\mathcal{U}$.

$\square$

命题 1.4. 若 $\mathcal{F}$ 是松弛的 (或细的) . 则 $\mathcal{F}$ 零调, 即 $H^p(X,\mathcal{F})=0\forall p>0$.

证明. 假设 $\mathcal{F}$ 是松弛的. 类似引理 1.3 取极大的 $(\mathcal{V},\psi )$, 并假设 $U_i\in \mathcal{U}-\mathcal{V}$. 令 $Y={\bigcup }_{\mathcal{V}}V\cap U_i$. 对 $U_j,U_k\in \mathcal{V}$, 有$${\psi }_j-{\phi }_{ij}={\psi }_k-{\phi }_{ik}(U_j\cap U_k\cap U_i).$$(4)这给出 $Y$ 上的一个截面. 由 $\mathcal{F}$ 松弛, 可以将该截面延拓为 $U_i$ 上的截面 ${\psi }_i$. 此时有 (考虑交错链复形) $$\delta \psi =\phi {|}_{\mathcal{V}\cup \{U_i\}}.$$(5)与极大性矛盾! 因此 $H^1(\mathcal{U},\mathcal{F})=0$. 由于松弛层限制在开集上仍松弛, 由引理 1.3 知 $\mathcal{F}$ 零调.

假设 $\mathcal{F}$ 是细的. 记 $s_{i_0,\cdots ,i_p}=s_{i_0}\cdots s_{i_p}$. 对 $\phi \in C^p(\mathcal{U},\mathcal{F})$, 令$${\psi }_{i_1,\cdots ,i_p}=\sum _i{s}_i\cdot {\phi }_{i,i_1,\cdots ,i_p}(U_{i_1}\cap \cdots \cap U_{i_p}).$$(6)容易验证 $\delta \psi =\phi$, 从而 $\mathcal{F}$ 零调.

$\square$

命题 1.5. 设 $X$ 是仿紧的拓扑空间, 则群层的正合列: $$0\to \mathcal{F}\to \mathcal{G}\to \mathcal{H}\to 0$$诱导同调群的长正合列: $$\begin{array}{rl}0\to \Gamma (X,\mathcal{F})\to \Gamma (X,\mathcal{G})& \to \Gamma (X,\mathcal{H})\to H^1(X,\mathcal{F})\to \\ \to H^1(X,& \mathcal{G})\to H^1(X,\mathcal{H})\stackrel{{\delta }^{\ast }}{\to }{H}^2(X,\mathcal{F})\to \cdots \end{array}$$

证明. 对任何开覆盖, 我们有链复形的正合列$$0\to C^{\ast }(\mathcal{U},\mathcal{F})\to C^{\ast }(\mathcal{U},\mathcal{G})\to C_a^{\ast }(\mathcal{U},\mathcal{H})\to 0.$$(7)其中 $C_a^{\ast }(\mathcal{U},\mathcal{H})$ 由 “可提升” 的链构成. 我们有长正合列$$\cdots \to H^p(\mathcal{U},\mathcal{F})\to H^p(\mathcal{U},\mathcal{G})\to H_a^p(\mathcal{U},\mathcal{H})\stackrel{{\delta }^{\ast }}{\to }{H}^{p+1}(\mathcal{U},\mathcal{F})\to \cdots$$(8)

对于 $C_a^{\ast }(\mathcal{U},\mathcal{H})$, 注意开覆盖加细的诱导同态良定, 记$$\underset{⟶}{\lim }{H}_a^{\ast }(\mathcal{U},\mathcal{H})=H_a^{\ast }(X,\mathcal{H}).$$(9)剩下验证自然的同态 $H_a^{\ast }(X,\mathcal{H})\to H^{\ast }(X,\mathcal{H})$ 是同构. 由正项极限的定义, 又只需证: 任意 $\phi \in C^p(\mathcal{U},\mathcal{H})$, 存在加细 $(\mathcal{V},\rho )$ 使得 ${\rho }^{\ast }\phi \in C_a^p(\mathcal{V},\mathcal{H})$.

不妨 $\mathcal{U}=\{U_i{\}}_{i\in I}$ 局部有限, 由命题 3.3, 取 $\mathcal{U}$ 的收缩 $\{W_i{\}}_{i\in I}$. 对任意的 $x\in X$, 存在开邻域 $V_x$ 使得下列成立:

•	$s=(i_0,\cdots ,i_p)$. 若 $x\in U_s$, 则 $V_x\subset U_s$, 且 ${\phi }_s$ 在 $V_x$ 上的限制可被提升.
•	若 $x\in W_i$, 则 $V_x\subset W_i$; 若 $V_x\cap W_i\ne \varnothing$, 则 $V_x\subset U_i$.

考虑 $\mathcal{U}$ 的加细 $\mathcal{V}=\{V_x{\}}_{x\in X}$, 及 $\rho :X\to I$, 使得 $x\in W_{\rho (x)}$. 若 $V_{x_0}\cap \cdots \cap V_{x_p}\ne \varnothing$, 则 $V_{x_0}\subset U_{\rho (x_i)}$, 因此 $({\rho }^{\ast }\phi {)}_{x_0,\cdots ,x_p}$ 可提升.

$\square$

定理 1.6. 设 $X$ 仿紧, $0\to \mathcal{F}\to {\mathcal{F}}_0\to {\mathcal{F}}_1\to \cdots$ 是 $\mathcal{F}$ 的一个零调消解, 则$$H^i(X,\mathcal{F})\cong \frac{\ker (d:\Gamma (X,{\mathcal{F}}_i)\to \Gamma (X,{\mathcal{F}}_{i+1}))}{\mathrm{im}(d:\Gamma (X,{\mathcal{F}}_{i-1})\to \Gamma (X,{\mathcal{F}}_i))}$$(10)

证明. 提取短正合列$$0\to {\mathcal{Z}}_i\to {\mathcal{F}}_i\to {\mathcal{Z}}_{i+1}\to 0,$$(11)其中 ${\mathcal{Z}}_0=\mathcal{F}$. 由命题 1.5 即知.

$\square$

当 $\mathcal{F}$ 的纤维是含幺交换环时, 还可以定义上同调群 $H^{\ast }(X,\mathcal{F})$ 的乘法: 设 $\mathcal{U}=\{U_i{\}}_{i\in I}$ 是一组开覆盖. 对 $\phi \in C^p(\mathcal{U},\mathcal{F}),\psi \in C^q(\mathcal{U},\mathcal{F})$, 定义 ³

$$(\phi \wedge \psi )(i_0,\cdots ,i_{p+q}):=\phi (i_0,\cdots ,i_p)\cdot \psi (i_p,\cdots ,i_{p+q}).$$(12)

容易证明 $\phi \wedge \psi$ 是 $C^{p+q}(\mathcal{U},\mathcal{F})$ 中的链, 且如下成立: $$\{\begin{array}{rl}& \delta (\phi \wedge \psi )=\delta \phi \wedge \psi +(-1{)}^p\phi \wedge \delta \psi ,\\ & (\phi \wedge \psi )\wedge \varphi =\phi \wedge (\psi \wedge \varphi ).\end{array}$$

因此有诱导映射 $\wedge :H^p\otimes H^q\to H^{p+q}$. 利用奇异同调里的技巧, 可以证明在 $H^{p+q}(\mathcal{U},\mathcal{F})$ 中有$$[\phi ]\wedge [\psi ]=(-1{)}^{pq}[\psi ]\wedge [\phi ].$$(13)

定理 1.7. $H^{\ast }(X,\mathcal{F})=⨁H^i(X,\mathcal{F})$ 是一个交换的分次代数.

2de Rham 定理

cech 和 singular 一致性 (flasque resolution) cech 和 de rham 一致性 (soft) 一些追图的方法怎么说明上同调类是整的 (c_1(O(-1)) 是整的) 香蕉理论、poincare 对偶

3附录

仿紧空间

仿紧空间于 1944 年由 Dieudonné 引入, 它是容许单位分解的最广泛的空间. 在万有丛的理论中会遇到仿紧空间; 而第二可数的局部紧 Hausdorff 空间都是仿紧的, 因此拓扑流形都是仿紧的.

定义 3.1. 拓扑空间 $X$ 称为仿紧的, 若 $X$ 第二可分, 且对任意开覆盖存在局部有限加细.

命题 3.2. 仿紧空间是正规的.

证明. 类比紧 Hausdorff 空间正则的证明. 取 $x,A$ 分别是 $X$ 中的点与闭集, 使得 $x\notin A$. 对任意 $a\in A$, 存在 $x,a$ 的不交开邻域 $U_a,V_a$. 注意 $\{V_a,A^c|a\in A\}$ 是 $X$ 的一组开覆盖, 取局部有限的加细 $\{W_i{\}}_{i\in I}$.
存在 $x$ 的邻域 $U_0$, 使得 $U_0$ 只与 $W_1,\cdots ,W_n$ 有交. 不妨 $U_0\subset A^c$, $W_1,\cdots ,W_i$ 分别含于 $V_{a_1},\cdots ,V_{a_i}$, 且 $W_{i+1},\cdots ,W_n\subset A^c$. 那么$$U_0\cap U_{a_1}\cap \cdots \cap U_{a_i},\bigcup _{W_i\cap A\ne \varnothing }{W}_i$$分离 $x$ 与 $A$. 重复上述的推理可知正规性.

$\square$

命题 3.3 (收缩引理). 设 $\{U_i{\}}_{i\in I}$ 是仿紧空间 $X$ 的一组开覆盖. 则存在局部有限的开覆盖 $\{V_i{\}}_{i\in I}$, 使得 ${\bar{V}}_i\subset U_i$.

证明. 由于 $X$ 正规, 取 $\{W_j{\}}_{j\in J}$ 是局部有限的开覆盖, 使得每个 $W_j$ 的闭包含于某个 $U_i$. 由选择公理, 存在映射 $f:J\to I$, 使得 ${\bar{W}}_j\subset U_{f(j)}$. 令$$V_i=\bigcup _{f(j)=i}{W}_j,$$容易验证 $\{V_i{\}}_{i\in I}$ 满足要求.

$\square$

定理 3.4. 若 $X$ 仿紧, 则对任意开覆盖 $\{U_i{\}}_{i\in I}$, 存在相应的单位分解 $\{{\phi }_i{\}}_{i\in I}$.

外积的交换性

令 ${ϵ}_p=(-1{)}^{p(p+1)/2}$. 对 $\phi \in C^p(\mathcal{U},\mathcal{F})$, 定义 ⁴$$(r\phi )(i_0,\cdots ,i_p):={ϵ}_p\phi (i_p,\cdots ,i_0).$$(14)

那么 $r:C^p(\mathcal{U},\mathcal{F})\to C^p(\mathcal{U},\mathcal{F})$ 是链映射. 定义链同伦 $P:C^p(\mathcal{U},\mathcal{F})\to C^{p-1}(\mathcal{U},\mathcal{F})$ 如下$$(P\phi )(i_0,\cdots ,i_{p-1})=\sum _{t=0}^{p-1}(-1{)}^t{ϵ}_{p-1-t}\phi (i_0,\cdots ,i_t,i_{p-1},\cdots ,i_t).$$(15)

容易验证 $\partial P+P\partial =r-\mathrm{id}$, 即 $r$ 与 $\mathrm{id}$ 链同伦. 由$$r(\phi \wedge \psi )=(-1{)}^{pq}(r\psi )\wedge (r\phi )$$(16)即知 (3) 式成立.

Cěch 余链复形

1.	对于相关的动机, Hömander 在 Introduction to complex analysis in several variables 中有较好的阐述. Cěch 余链复形有多种定义 (交错的、带序的) 等等. 这里我们采用不交错的定义方式, 因为 Cěch 余链复形更像是奇异余链复形的类比. 关于各种定义的等价性, 在 Stacks project 中有讨论.
2.	从这里可以看出, 松弛层是一个更代数的对象. 下节构造的松弛层也较为抽象. 而与之对比, 细层则有很多自然地从几何来的例子.
3.	Alexander-Whitney 对角逼近.
4.	类比 Hatcher 对奇异上同调杯积的证明.

术语翻译

松弛的、细的 • 英文 flasque, fine