用户: Eli/复几何/全纯线丛

设 $X$ 是 $n$ 维复流形.

1线丛与函数论

考虑 $F$ 是 $X$ 上的亚纯函数. 根据定义, 它是一个截面映射$$F:X\to \underset{x\in X}{⨆}Q({\mathcal{O}}_{X,x}),$$(1)满足对任意 $x_0\in X$, 存在开邻域 $U\subset X$ 及上面的全纯函数 $f,g$, 使得 $F_x=f_x/g_x$.

在复分析中, 很自然地会问这样一个问题: 亚纯函数是否总能写成两个整体定义的全纯函数之商?

由全纯函数环的性质 ¹, 可以选取开覆盖 $(U_i,f_i,g_i{)}_{i\in I}$, 使得 $f_i,g_i$ 在 ${\mathcal{O}}_x$ 中是互素的. 转移函数 $(f_i/f_j)$ 给出一个全纯线丛 $L\to X$, 且 $(f_i),(g_i)$ 定义了 $L$ 的两个全纯截面 $s,t$.

命题 1.1. 假设 $X$ 上只有平凡全纯线丛, 也即 $H^1(X,{\mathcal{O}}_X^{\ast })=0$. 那么 $X$ 上的亚纯函数能写成 $f/g$ 的形式, 其中 $f,g$ 全纯, 且 $f_x,g_x$ 互素（$\forall x\in X$) .

特别的, 当 $X$ 是 Stein (仿射) 流形且 $H^2(X,\mathbb{Z})=0$ 时, 上命题的假设成立 (Cousin 第二问题) . 复平面的开集均满足该条件.

当 $X$ 是黎曼面时, 设 $F$ 是 $X$ 上的亚纯函数, 且在 ${\mathcal{O}}_x$ 中有 $F_x=f_x/g_x$ ($f_x,g_x$ 互素) . 定义 $F$ 在 $x$ 处的取值为$$F(x):=\{\begin{array}{rlr}& \frac{f_x(x)}{g_x(x)}& g_x(x)\ne 0,\\ & \infty & g_x(x)=0.\end{array}$$因此亚纯函数可以视为映射 $F:X\to \mathbb{C}\cup \{\infty \}$. 这与复分析中的定义一致. 进一步可以看出 $F$ 实际上定义了到黎曼球面 ${\mathbb{P}}^1$ 的全纯映射.

当 $X$ 的复维数大于 $1$ 时, 上述定义不再成立. 原因是 $f_x,g_x$ 在 $x$ 处可能同时消失, 如 $\frac{z_1}{z_2}$. 但仍然可以看出, $F$ 在一个解析集之外是全纯的.

定义 1.2. 假设 $X$ 紧连通, $K(X)$ 是 $X$ 上的亚纯函数域. 其对 $\mathbb{C}$ 的超越度数称 $X$ 的代数维数.

注意到 $U\subset X$ 连通时, ${\mathcal{O}}_U$ 仍是整环. 特别地, $U$ 为 ${\mathbb{C}}^n$ 中开球时, $K(U)$ 同构于 ${\mathcal{O}}_U$ 的分式域. 此时我们仍能用全纯函数的 (形式) 分式表示亚纯函数.

例 1.3. $K({\mathbb{P}}^n)=\mathbb{C}(w_1,\cdots ,w_n)$ 是 $n$ 元有理函数域. 取定 $F(z_0:\cdots :z_n)$ 是亚纯函数, 在仿射平面 $\{z_0\ne 0\}\cong {\mathbb{C}}^n$ 的限制给出 $f$. 不妨 $f$ 在 $(1:0:\cdots :0)$ 附近是全纯的. 在全纯坐标$$w_1=\frac{z_1}{z_0},\cdots ,w_n=\frac{z_n}{z_0}$$(2)下, 对任意 $w\ne 0$, 由于 $f(-w)$ 分母不恒等于零, $f(tw)$ 及 $f(t^{-1}w)=F(t:w)$ 都是复平面上的亚纯函数. 从而是 $t$ 的有理函数. 然后呢?

例 1.4. $\Gamma$ 是由 $1,\tau \in \mathbb{H}$ 生成的格点. $\mathbb{C}/\Gamma$ 上的亚纯函数称为椭圆函数.

2线丛与除子

3曲率与陈类

设 $p:L\to X$ 是一个全纯线丛. 要给出线丛上的 Hermite 度量, 只需要在每个纤维上确定一个数即可.

定义 3.1. $L$ 上的 Hermite 度量是一个光滑函数$$h:L\to [0,\infty )$$满足 $h$ 只在零截面上消失, 且 $h(\lambda v)=|\lambda {|}^{2}h(v),\forall \lambda \in \mathbb{C}$.

记 $T_h=\{v|h(v)\le 1\}$ 是相应于该度量的单位圆盘丛. 它包含了度量 $h$ 的完整信息.

命题 3.2. 存在 ${\omega }_h$ 是 $X$ 上的 $(1,1)$-形式, 使得在 $L-0$ 上有$$-i\partial \bar{\partial }\log h=p^{\ast }{\omega }_h.$$称 ${\omega }_h$ 为 $h$ 的曲率形式. 上同调类 $\left[\frac{1}{2\pi }{\omega }_h\right]\in H_{dR}^2(X,\mathbb{R})$ 与 $h$ 的选取无关, 从而称为线丛 $L$ 的第一陈类 $c_1(L)$.

证明. ${\omega }_h$ 的唯一性是显然的. 事实上, 由于 $p\circ \iota =i{d}_X$, 拉回 $p^{\ast }:{\Lambda }^{1,1}X\to {\Lambda }^{1,1}L$ 是单射. 下面构造 ${\omega }_h$. 取 $(U,s)$ 是 $L$ 的一个处处非零的全纯截面, 则$$\begin{array}{rl}U\times \mathbb{C}& \to L{|}_U\\ (x,\lambda )& \to \lambda s_x\end{array}$$给出一个局部平凡化. 在 $U\subset X$ 上令 ${\omega }_h=-i\partial \bar{\partial }\log h(s)$. 那么在 $L{|}_U-0$ 上有$$-i\partial \bar{\partial }\log h-p^{\ast }{\omega }_h=-i\partial \bar{\partial }\log |\lambda {|}^2=0.$$第二个等号用到了 $\lambda$ 是 $L{|}_U$ 上的全纯函数. 最后只需注意 ${\omega }_h$ 与全纯截面的选取无关, 因此 ${\omega }_h$ 是在 $X$ 上整体定义的 $(1,1)$-形式. 剩下的性质读者自证.

$\square$

注意 $h(s)$ 是局部给出的函数, 因此 ${\omega }_h$ 仅仅是闭的、局部恰当的. 进一步, 由上面的构造可知, 当 $L$ 存在整体的处处非零截面时 (即 $L$ 平凡) , 其第一陈类消失. 还需要注意的是, 陈类能够对所有复向量丛构造, 它与线丛的全纯结构无关.

注 3.3 (与黎曼度量的联系). 设 $X$ 是紧黎曼面, 其上有一个自然的线丛即切丛 (配上近复结构) . 取 $z=x+iy$ 为全纯坐标, 那么 Hermite 度量形如$$h(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial x})=h(\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial y}),h(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y})=0.$$也即, Hermite 度量作为黎曼度量是共形平坦的! 利用共形变换下的曲率公式 ², 曲率形式 ${\omega }_h=KdV$, 其中 $K$ 是 Gauss 曲率, $dV$ 是面积形式. Gauss-Bonnet 公式可以写为$${\int }_X{c}_1(TX)=\chi (X).$$

曲率形式 ${\omega }_h$ 是 $X$ 上的实 $(1,1)$-形式. 对此有两种看法: ${\omega }_h$ 是实切丛 $TX$ 上的 $2$-形式, 或者 $-i{\omega }_h$ 是全纯切丛 $T^{\prime }X$ 上的 Hermite 型 (即 $-i{\omega }_h(u,\bar{v})$ 共轭对称) .

定义 3.4. $(L,h)$ 是正曲率 Hermite 线丛, 若对 $T_{x}X$ 中的任意复直线 $l$, $({\omega }_h){|}_l$ 与 $l$ 的定向相匹配; 或 $-i{\omega }_h$ 是 $T^{\prime }X$ 上的正定 Hermite 型.

注意 $T_{x}X$ 中的复直线有自然的定向 $(v,Jv)$. 利用对应 $u\mapsto v=(u+\bar{u})/2$, 我们有 ${\omega }_h(v,Jv)=-i{\omega }_h(u,\bar{u})/2$.

例 3.5. 考虑 ${\mathbb{P}}^n$ 上的典范丛 $\mathcal{O}(-1)$. 设 $(l,v)$ 是其上一点, 其中 $l\subset {\mathbb{C}}^{n+1}$ 是一维子空间, $v\in l$. 一个自然的度量是 $h(v)=|v{|}_{{\mathbb{C}}^{n+1}}^2$. 在全纯坐标 (2) 下, 曲率形式$${\omega }_h=-i\left(\frac{{\delta }_{ij}}{1+|w{|}^2}-\frac{{\bar{w}}_i{w}_j}{(1+|w{|}^2{)}^2}\right)d{w}_i\wedge d{\bar{w}}_j.$$对 $\xi ={\xi }_i\frac{\partial }{\partial w_i}$, 由 Cauchy 不等式, 有$$-i{\omega }_h(\xi ,\bar{\xi })\le 0.$$取等当且仅当 $\xi =0$. 因此 $(\mathcal{O}(-1),h)$ 是负曲率线丛. 通过直接计算知, $\mathcal{O}(-1)$ 上只有平凡截面.

考虑嵌入 $\iota :{\mathbb{P}}^1\subset {\mathbb{P}}^n$, 我们有$$⟨c_1(\mathcal{O}(-1)),[{\mathbb{P}}^1]⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_{{\mathbb{P}}^1}{\iota }^{\ast }{\omega }_h=-1.$$即, $\mathcal{O}(-1)$ 的陈类是 $H^2({\mathbb{P}}^n,\mathbb{Z})$ 的生成元.

4Picard 群

5陈类的应用

假设 $(L,h),(L^{\prime },h^{\prime })$ 是两个线丛, 容易看到 $h{h}^{\prime }(s\otimes t)=h(s)h^{\prime }(t)$ 是 $L\otimes L^{\prime }$ 上的度量.

命题 5.1. $c_1(L\otimes L^{\prime })=c_1(L)+c_1(L^{\prime })$, $c_1(L^{\ast })=-c_1(L)$.

因此在例 3.5 中, 我们有$$⟨c_1(\mathcal{O}(k)),[{\mathbb{P}}^1]⟩=k.$$

推论 5.2. $\mathcal{O}(k)$ 作为 ${\mathbb{P}}^n$ 上的全纯线丛两两不同构.

[层的描述说明是整的统调类] [陈类和除子, 庞加莱对偶]

1.	Huybrechts, Complex geometry, 第 21 页.
2.	于品, 黎曼几何作业 6