用户: Eli/分析/Sobolev嵌入BMO

本条来源于 ly 泛函的第三次作业. 众所周知, Sobolev 空间嵌入 $L^{\infty }$ 要求指标大于 $\frac{n}{2}$. 在临界情形, 我们可以将 $H^{\frac{n}{2}}$ 嵌入 $BMO$ 空间. 事实上, 我们可以证明下面更强的命题. 证明依赖于频率空间的一个简单分解.

定理 0.1. 对任意 $u\in L^2({\mathbb{R}}^n)$, 任意开球 $B\subset {\mathbb{R}}^n$, 有$${-\int }_B\left|u(x)-{-\int }_{B}u\right|dx{\lesssim }_n\Vert u{\Vert }_{{\dot{H}}^{n/2}}$$(1)

证明. 注意到 ${\dot{H}}^{\frac{n}{2}}$ 的伸缩齐次性 (rearrangement-invariant) , 不妨 $B$ 为单位球. 令$$f={\mathcal{F}}^{-1}(\hat{u}{1}_{|\xi |\le 1}),g={\mathcal{F}}^{-1}(\hat{u}{1}_{|\xi |>1}).$$(2)则 $u=f+g$, 且 $f$ 光滑. $$I:={-\int }_B\left|f(x)-{-\int }_{B}f\right|dx{\lesssim }_n{\int }_B{\int }_B\left|f(x)-f(y)\right|dxdy$$(3)由积分余项知 $|f(x)-f(y)|\le \Vert \nabla f{\Vert }_{L^{\infty }}|x-y|$. 又由 Cauchy 不等式, $$\Vert \nabla f{\Vert }_{L^{\infty }}{\lesssim }_n\Vert |\xi |\hat{f}{\Vert }_{L^1}\le \Vert |\xi {|}^{1-\frac{n}{2}}{1}_{|\xi |\le 1}{\Vert }_{L^2}\cdot \Vert |\xi {|}^{\frac{n}{2}}\hat{u}{\Vert }_{L^2}{\sim }_n\Vert u{\Vert }_{{\dot{H}}^{n/2}}.$$(4)因此 $I{\lesssim }_n\Vert u{\Vert }_{{\dot{H}}^{n/2}}$. $$II:={-\int }_B\left|g(x)-{-\int }_{B}g\right|dx\le 2{-\int }_B|g(x)|dx{\lesssim }_n\Vert g{\Vert }_{L^2}.$$(5)由 Plancherel 知$$\Vert g{\Vert }_{L^2}=\Vert \hat{u}{1}_{|\xi |>1}{\Vert }_{L^2}\le \Vert |\xi {|}^{\frac{n}{2}}\hat{u}{\Vert }_{L^2}=\Vert u{\Vert }_{{\dot{H}}^{n/2}}.$$(6)因此 $II{\lesssim }_n\Vert u{\Vert }_{{\dot{H}}^{n/2}}$. I、II 结合即得 (1) 式.

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