用户: Eli/分析/Minkowski不等式

设 $(X,\mathcal{A},\mu ),(Y,\mathcal{B},\nu )$ 是两个 $\sigma$-有限的测度空间, 我们有如下不等式:

定理 0.1 (Minkowski 不等式). 设 $f\in L^{+}(X\times Y,\mathcal{A}\otimes \mathcal{B},\mu \otimes \nu )$, $0<p<q$ 均为实数. 我们有$$\Vert \Vert f(x,y){\Vert }_{L^p(\mu )}{\Vert }_{L^q(\nu )}\le \Vert \Vert f(x,y){\Vert }_{L^q(\nu )}{\Vert }_{L^p(\mu )}$$(1)

证明. 不妨 $p=1$. 令 $g(y)=\Vert f(x,y){\Vert }_{L^1(\mu )}$, 则$$(LHS{)}^q={\int }_Y{\int }_{X}f(x,y)g(y{)}^{q-1}d\mu (x)d\nu (y)={\int }_X{\int }_{Y}f(x,y)g(y{)}^{q-1}d\nu (y)d\mu (x)\le {\int }_X{\left({\int }_Y|f(x,y){|}^{q}d\nu \right)}^{\frac{1}{q}}{\left({\int }_Y|g(y){|}^{q}d\nu \right)}^{\frac{q-1}{q}}d\mu =(RHS)\cdot (LHS{)}^{q-1}.$$(2)因此 $(LHS)\le (RHS)$.

$\square$

令 $X=\{1,2\}$, $\mu$ 为计数测度:

推论 0.2. $p\ge 1$ 时 $L^p(X,\mathcal{A},\mu )$ 为赋范线性空间.