用户: Eli/分析/L^p范数的对偶刻画

利用 Hölder 不等式, 我们可以得到 $L^p$ 范数的一个 “对偶” 刻画

引理 0.1. $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是 $\sigma$-有限测度空间, $f$ 是其上的复值可测函数. 对 $1\le p\le \infty$ 有$$\Vert f{\Vert }_p=\sup \{\left|{\int }_{X}fg\right|:\Vert g{\Vert }_{p^{\prime }}\le 1\}.$$(1)

由引理 0.1 易得 $L^p$ 范数的三角不等式. 我们还有以下有趣的应用, 这是 qyh 泛函分析期中考的第二题.

命题 0.2. $(X,\mathcal{M},\mu )$ 是 $\sigma$-有限测度空间, $\varphi$ 是其上的复值可测函数. 设 $1\le q\le p\le \infty$. 若如下线性算子良定义: $$T:L^p(X)\to L^q(X),T(f)=\varphi f$$(2)则 $T$ 有界且 $\varphi \in L^r(X)$, 其中 $\frac{1}{p}+\frac{1}{r}=\frac{1}{q}$.

证明. 有界性由闭图像定理可得. 任取 $\psi \in L^{r^{\prime }}(X)$, $\Vert \psi {\Vert }_{r^{\prime }}\le 1$. 由引理 0.1 及不等式$${\int }_X|\varphi ||\psi |={\int }_X|\varphi ||\psi {|}^{\frac{r^{\prime }}{p}}|\psi {|}^{1-\frac{r^{\prime }}{p}}\le \Vert T|\psi {|}^{\frac{r^{\prime }}{p}}{\Vert }_q\Vert |\psi {|}^{1-\frac{r^{\prime }}{p}}{\Vert }_{q^{\prime }}\le \Vert T\Vert$$(3)知 $\varphi \in L^r(X)$, 且 $\Vert \varphi {\Vert }_r\le \Vert T\Vert$.

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