用户: Eli/分析/Baire定理的妙用

1双线性映射

设 $X,Y,Z$ 为赋范线性空间空间. 映射 $T:X\times Y\to Z$ 称分别连续的, 如果对任意 $x\in X$ 和 $y\in Y$, 下列映射$$T_x(y)=T^y(x)=T(x,y)$$是连续的.

定理 1.1. 设双线性映射 $T:X\times Y\to Z$ 是分别连续的, 且 $X$ 为 Banach 空间, 则 $T$ 连续.

证明. 对 $n\in \mathbb{N}$ 定义$$B_n=\{x\in X:{\left|T(x,y)\right|}_Z\le n,\forall y\in Y,{\left|y\right|}_Y=1\}.$$由于 $T^y$ 对任意 $y\in Y$ 连续, $B_n$ 闭. 对 $x\in X$, $T_x$ 的连续性意味着存在 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $x\in B_n$. 因此$$X=\bigcup _n{B}_n.$$由 Baire 纲定理, $X$ 是第二纲集. 存在一个 $B_n$ 具有非空内部 $W\subset X$. 因此存在 $0$ 的开邻域 $U\subset X$, 使得$$U\subset W-W\subset B_{2n}.$$设 $U$ 包含以 $0$ 为圆心, 半径为 $r$ 的闭球. 则对任意 $(x,y)\in X\times Y$ 有$${\left|T(x,y)\right|}_Z\le \frac{2n}{r}{\left|x\right|}_X{\left|y\right|}_Y.$$这证明了 $T$ 的连续性.

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