用户: Eli/分析/弱拓扑的可分性

设 $X$ 为无穷维赋范线性空间. 下面证明, $X$ 在弱拓扑下没有可数局部基.

引理 0.1. 设 $V$ 为线性空间, $\Lambda ,{\Lambda }_1,\cdots ,{\Lambda }_k$ 为其上线性泛函. 若对任意 $x\in X$, 如下命题$${\Lambda }_{i}x=0(\forall i)\Rightarrow \Lambda x=0$$成立, 则 $\Lambda$ 是 ${\Lambda }_i$ 的线性组合.

证明. (留作练习)

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回到原问题. $X$ 在 $0$ 处的一个弱拓扑局部基为所有形如$$\{x\in X:|{\Lambda }_i(x)|<{ϵ}_i,i=1,\cdots ,k\}$$(1)的子集族, 其中 ${\Lambda }_i\in X^{\ast },ϵ>0$. 若 $X$ 在弱拓扑下有可数局部基, 则有子集 $\{{\Lambda }_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}\subset X^{\ast }$, 它们通过 (1) 式给出 $X$ 在 $0$ 处的弱拓扑局部基.

我们可以从小到大遍历一次 $\{{\Lambda }_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$, 如果 ${\Lambda }_k$ 可表示为前面若干项的线性组合, 则将其删去. 剩下的线性泛函也能给出 $0$ 处的局部基. 如果只剩下有限个线性泛函, 由于 $X^{\ast }$ 无穷维, 则必有 $\Lambda \in X^{\ast }$ 与其线性无关. 由引理 0.1 存在 $v\in X$ 落在 ${\Lambda }_i$ 零空间中, 且 $\Lambda v\ne 0$. 则弱开集$$\{x\in X:|\Lambda x|<1\}$$(2)不包含 $\{{\Lambda }_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 生成的开集, 矛盾. 因此剩下可数个线性无关的泛函, 将其重新标号, 也记为 $\{{\Lambda }_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$. 可以假设 $\Vert {\Lambda }_i\Vert =1$.

由引理 0.1, 对任意 $k\in \mathbb{N}$ 存在单位向量 $e_k\in X$, 满足$${\Lambda }_i(e_k)=0,{\Lambda }_k(e_k)\ne 0.(i<k)$$(3)归纳地取数列 $\{c_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$: $$c_1=1,c_k=\frac{1}{3^k}(\underset{i<k}{\min }|c_i|)\cdot (\underset{i<k}{\min }|{\Lambda }_i(e_i)|).$$(4)则 $c_i$ 非零, ${\sum }_i{c}_i{\Lambda }_i$ 在算子范数下收敛到 $\Lambda \in X^{\ast }$, 且有$$|\Lambda (e_k)|\ge |c_k{\Lambda }_k(e_k)|-\sum _{i>k}|c_i{\Lambda }_i(e_k)|\ge |c_k{\Lambda }_k(e_k)|-\sum _{i>k}|c_i|\ge (1-\frac{1}{2\cdot 3^k})|c_k{\Lambda }_k(e_k)|>0.$$(5)

同样考虑 $\Lambda$ 给出的弱开集 (2), 当 $t>>1$ 时其不包含 $t{e}_{k+1}$, 而 (1) 给出的弱开集对任意 $t>0$ 包含 $t{e}_{k+1}$. 因此 $\{{\Lambda }_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ 不能给出弱拓扑局部基, 矛盾!