用户: Eli/分析/完全平方多项式

考虑如下问题:

命题 0.1. 设 $f(X)\in \mathbb{Z}[X]$, 且对任意整数 $n$, 有 $f(n)$ 是完全平方数. 则 $f(X)$ 是某个整系数多项式的完全平方.

不妨 $f(X)$ 不是零多项式, 则可设 $n$ 足够大时 $f(n)>0$. 令 $g(n)=\sqrt{f(n)}$, $n>>1$. 用 $(\Delta g)(n)=g(n+1)-g(n)$ 表示 $g$ 的 “差分”. 则由条件知 ${\Delta }^{p}g$ 恒取整值.

引理 0.2. 存在 $p>0$, 使得 $n\to \infty$ 时, 有 $({\Delta }^{p}g)(n)\to 0$.

证明. 由 Faà di Bruno 公式, $${\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^{p}g(x)=O(x^{d/2-p}).$$取 $p>d/2$, 则 ${\left(\frac{\partial }{\partial x}\right)}^{p}g(x)\to 0$. 由 Lagrange 中值定理及对 $p$ 归纳, 对任意 $n,p$, 存在 $\xi \in (n,n+p+1)$, 使得 ${\Delta }^{p}g(n)=g^{(p)}(\xi )$. 因此 ${\Delta }^{p}g(n)\to 0$.

$\square$

由于 ${\Delta }^{p}g$ 恒取整值, 故 $n$ 足够大时 ${\Delta }^{p}g(n)=0$. 用 Lagrange 插值公式知 $n$ 足够大时 $g(n)$ 与某个有理系数多项式相等, 从而 $f(X)$ 是某个有理系数多项式的平方. 最后用 Gauss 引理即可.