用户: Eli/分析/分布正则性

设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 为开集, $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$. 已知 $u$ 的若干阶导数均为连续函数, 则 $u$ 的光滑性如何? 这就是分布的正则性问题.

定理 0.1. 设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 为开集, $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$. $k$ 为正整数, 使得任意 $|\alpha |\le k$, ${\partial }^{\alpha }u$ 连续, 则 $u\in C^k(\Omega )$.

先证明关于解的 “唯一性” 的命题

引理 0.2. $\Omega ,u$ 如上, 且对任意 $k=1,\cdots ,n$, 有 ${\partial }_{k}u=0$. 则 $u$ 为常数.

证明. 通过分布的限制, 不妨假设 $\Omega$ 为单位球 $B(0,1)$. 由正合列$${\Omega }_c^{n-1}(B(0,1))\stackrel{d}{⟶}{\Omega }_c^n(B(0,1))\stackrel{\int }{⟶}\mathbb{R},$$(1)对 $\phi \in C_0^{\infty }(B(0,1))$, $\int \phi =0$, 有 $f_1,\cdots ,f_n\in C_0^{\infty }(B(0,1))$ 使得$$\phi =\sum _k{\partial }_k{f}_k$$(2)故 $⟨u,\phi ⟩=0$. 取定 $\psi \in C_0^{\infty }(B(0,1))$, $\int \psi =1$. 对任意 $\phi \in C_0^{\infty }(B(0,1))$, 有 $⟨u,\phi ⟩=⟨u,\psi \int \phi ⟩=⟨⟨u,\psi ⟩,\phi ⟩$. 故 $u=⟨u,\psi ⟩$.

$\square$

当 $k\ge 2$ 时, 可以用 Newton-Leibniz 公式构造出 $u$; 当 $k=1$ 时, 则需要更为小心的构造. 这部分内容可以在 Hörmander 上看到, 这里就不赘述了.