用户: Eli/分析力学

1运动方程与变分问题

假设 $\Gamma$ 是一个自由度为 $n$ 的力学系统. 用 $n$ 维流形 $M$ 中的点表示系统的空间状态. $M$ 称为系统的构形空间. 由于运动的微分方程只需要在局部 (较短的一段时间, 较小的空间范围) 上推导, 我们取 $M$ 上的一个欧氏开集 $U$, 它诱导切丛 $TU$ 上的一个坐标卡, 记为 $(q_1,\cdots ,q_n,{\dot{q}}_1,\cdots ,{\dot{q}}_n)$.

拉格朗日力学中最重要的观点是, 建立运动方程与变分问题的联系. 根据维基百科, 变分问题肇始于牛顿的最小阻力问题以及约翰 $\cdot$ 伯努利的最速降线问题. 而变分的思想在偏微分方程中的狄利克雷问题, 黎曼几何中的莫尔斯理论里也有体现.

在经典力学中, 变分问题表述为: 给定系统, 寻找一个合适的拉格朗日量, 使得系统的运动是作用量泛函的临界点. 此即哈密顿原理.

定义 1.1. 光滑函数 $L:TM\times {\mathbb{R}}_t\to \mathbb{R}$ 称为系统 $\Gamma$ 的拉格朗日量. $L$ 由 $\Gamma$ 的物理所决定. 给定时空 $M\times {\mathbb{R}}_t$ 中两点 $(p,t_0),(q,t_1)$, 定义道路空间$$\Omega (M;p,q)=\{\gamma :[t_0,t_1]\to M|\gamma (t_0)=p,\gamma (t_1)=q\}.$$定义作用量 $A$ 为 $\Omega (M;p,q)$ 上的泛函, $$A(\gamma )={\int }_{t_0}^{t_1}L(\gamma ,{\gamma }^{\prime },t)dt.$$$A$ 的临界点称为系统的运动.

下面的定理给出了变分问题和运动微分方程的联系:

定理 1.2. $\gamma \in \Omega$ 是系统的运动当且仅当 $\gamma$ 满足拉格朗日方程$${\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}|}_{(\gamma ,{\gamma }^{\prime },t)}=0.$$(1)

我们用 $\dot{q}$ 和 $q^{\prime }$ 来区分切丛上的坐标及曲线求导. 注意方程 (1) 实际上是 $n$ 个二阶常微分方程. 由于泛函临界点与流形坐标选取无关, 拉格朗日方程在坐标变换下 “不变”. 这是变分问题带来的便利.

一个写作相关评注: 前面的推理都是局部的. 小范围的变分不涉及构形空间的整体性质. 因此, 原则上可以只用函数论的观点来叙述变分问题. ¹ 这里使用流形的语言, 主要因为我们更熟悉其上的坐标变换公式.

例 1.3. ² 假设力学系统的拉格朗日量为 $L=T-U$. 其中动能 $T$ 是速度的二次型: $$T(q,\dot{q},t)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(q,t){\dot{q}}_i{\dot{q}}_j.$$(2)势能 $U=U(q,t)$ 只和位置、时间有关. 则系统的拉格朗日方程为$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial }{\partial q}(T-U)=0.$$(3)

例 1.4. 考虑含 $n$ 个自由粒子的保守系统, 构形空间是 ${\mathbb{R}}^{3n}$ 中的开集. 沿用牛顿力学的概念, 记粒子质量为 $m_i$, 系统势能为 $U$. 由例 1.3, 系统的拉格朗日量为$$L=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2-U(x_1,\cdots ,x_n).$$(4)运动方程为$$m_i\frac{d{v}_i}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial x_i}.$$(5)由虚功原理知, (5) 式右边是粒子的受力. 该方程与牛顿运动方程是一致的.

例 1.5. ³ 考虑含 $n$ 质点的具有完整约束的系统, 即只对空间状态具有约束的系统. 当约束与时间无关时 (如: 单摆), 系统的构形空间是 ${\mathbb{R}}^{3n}$ 的子流形. 当约束与时间有关时 (如: 地表的河流), 系统的构形空间仍是 ${\mathbb{R}}^{3n}$ 的子流形, 但是其到 ${\mathbb{R}}^{3n}$ 的嵌入与时间相关.

系统的拉格朗日量仍可以根据例 1.3 写出, 由此导出拉格朗日方程. 如果要采取牛顿力学的视角, 则需要把完整约束理解为一个保守力场, 对应的势能在系统满足约束条件时取最小, 在偏离约束时迅速增大. 这些力场可以理解为系统的回复力, 比如串在圆环上的珠子, 在每个时刻都受到圆环施加的法向的力.

由例 1.4, 自由系统的拉格朗日方程和牛顿运动方程一致, 而在约束情形下, 系统的解只在构形空间中运动, 由 (5) 知系统法向的运动方程平凡, 因此在带完整约束的系统中, 牛顿运动方程和拉格朗日方程相符合.

尽管拉格朗日方程给出作用量的临界点, 但一般来说, 这个临界点并不总是极值点. 比如取拉格朗日量为流形上的黎曼度量, 临界点即测地线并不总是局部短的.

考虑一维保守系统$$L(q,\dot{q})=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2-U(q).$$(6)设 $\gamma$ 是系统的运动曲线, $(\gamma +s\delta )$ 是该曲线的参数为 $s$ 的定端变分. 利用运动方程及分部积分, $$\begin{gathered} A(\gamma +s\delta )-A(\gamma )={\int }_{t_0}^{t_1}ms\dot{\gamma }\dot{\delta }+\frac{1}{2}m{s}^2{\dot{\delta }}^2-s\delta U^{\prime }(\gamma )-\frac{1}{2}(s\delta {)}^2{U}^{\prime \prime }(\gamma )+O(s^3)dt \\ ={\int }_{t_0}^{t_1}\frac{1}{2}{s}^2(m{\dot{\delta }}^2-{\delta }^2{U}^{\prime \prime }(\gamma ))+O(s^3)dt. \end{gathered}$$(7)

保证作用量极小的一个充分条件是 $U$ 超调和, 或上凸. 但是弹簧振子并不满足这个条件.

2勒让德变换

下面我们从函数论的角度 (局部) 引入勒让德变换, 并讨论它和运动方程及变分的联系.

定义 2.1. 设 $f(x)=f(x_1,\cdots ,x_n)$ 是 $n$ 元函数. 若 $\mathrm{Hess}f$ 非退化, 令 $p=\nabla f(x)$, 称关于 $p$ 的函数$$F(p)=p\cdot x-f(x)$$为 $f$ 的勒让德变换.

勒让德变换具有对合性, 即如下命题:

命题 2.2. 假设 $\mathrm{Hess}f$ 非退化, $f(x)$ 的勒让德变换为 $F(p)$. 则 $\mathrm{Hess}F$ 非退化, 且 $F(p)$ 的勒让德变换为 $f(x)$.

给定拉格朗日力学系统 $(M,L)$, 其中拉格朗日量为 $L:TM\times {\mathbb{R}}_t\to \mathbb{R}$. 不妨 $M$ 就是欧氏开集, 其切丛 $TM\cong M\times {\mathbb{R}}^n$. 在坐标 $(q,\dot{q})$ 下, 对 $L(q,\dot{q},t)$ 的速度变量 $\dot{q}$ 作勒让德变换:

定义 2.3. 假设 $\left(\frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\dot{q}}_i\partial {\dot{q}}_j}\right)$ 处处非退化, 记 $L$ 对 $\dot{q}$ 的勒让德变换如下: $$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}},H(q,p,t)=p\dot{q}-L(q,\dot{q},t).$$(8)称 $H$ 为力学系统的哈密顿量.

这里勒让德变换实际上是 $(2n+1)$ 个变量的替换: $(q,\dot{q},t)\to (q,p,t)$. 将 $(q,p)$ 理解为相空间 $T^{\ast }M\cong M\times {\mathbb{R}}^n$ 上的坐标. 本节最后会解释其原因.

通过勒让德变换, 切丛 $TM$ 上的曲线 $(q(t),\dot{q}(t))$ 对应于相空间的曲线 $(q(t),p(t))$, 其中$$q(t)=q(t),p(t)=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q(t),\dot{q}(t),t).$$(9)

假设 $TM$ 上的曲线与配置空间相容, 即 $q^{\prime }(t)=\dot{q}(t)$. 此时, 作用量 $A(q)$ 是

$${\int }_{t_0}^{t_1}L(q(t),q^{\prime }(t),t)dt={\int }_{t_0}^{t_1}p(t)q^{\prime }(t)-H(q(t),p(t),t)dt.$$(10)

变分问题 (10) 导出的微分方程即哈密顿方程:

定理 2.4. 给定时空 $M\times {\mathbb{R}}_t$ 中两点 $(q_0,t_0),(q_1,t_1)$. 设 $\Omega$ 是相空间 $T^{\ast }M$ 中的曲线 $(q(t),p(t))$ 全体, 使得 $q(t_0)=q_0$, $q(t_1)=q_1$. 则 $\Omega$ 中曲线是泛函$${\int }_{t_0}^{t_1}p(t)q^{\prime }(t)-H(q(t),p(t),t)dt$$(11)的临界点当且仅当如下的哈密顿方程成立: $$\begin{array}{rl}{q}^{\prime }(t)& =\frac{\partial H}{\partial p}(q,p,t),\\ p^{\prime }(t)& =-\frac{\partial H}{\partial q}(q,p,t).\end{array}$$

另一方面, 直接计算知哈密顿方程和拉格朗日方程等价! 以上, 我们实际上将 $n$ 个二阶常微分方程组化为了 $2n$ 个一阶常微分方程组.

出于整体的考虑, 我们希望当 $M$ 是一般流形时, 勒让德变换有一个与坐标无关的表达. 不难发现, 相空间坐标 $(q,p)$ 满足余切丛的坐标变换.

定义 2.5. 给定力学系统 $(M,L)$, 其勒让德变换是含时的映射 ${\mathbb{F}}_{t}L:TM\to T^{\ast }M$, 将 $x$ 处的切向量 $v$ 映为 $x$ 处的余切向量 ${\mathbb{F}}_{t}L(v)$. 要求对任意 $\eta \in T_{x}M$, 有$${\mathbb{F}}_{t}L(v)\cdot w={\frac{d}{dt}|}_{t=0}L(v+tw).$$(12)哈密顿量 $H:T^{\ast }M\times {\mathbb{R}}_t\to \mathbb{R}$ 定义如下: $$H(\eta ,t)=\eta \cdot ({\mathbb{F}}_{t}L{)}^{-1}(\eta )-L\left(({\mathbb{F}}_{t}L{)}^{-1}(\eta ),t\right).$$(13)

定义 2.1 中 $\mathrm{Hess}$ 非退化保证了 ${\mathbb{F}}_{t}L$ 是局部微分同胚. 在大多数情形下 (如例 1.3) 它是整体的微分同胚, 因此 (13) 良定义. 曲线泛函 (11) 可以写为:

$${\int }_{t_0}^{t_1}\eta (t)\cdot (\pi \circ \eta {)}^{\prime }(t)-H(\eta (t),t)dt.$$(14)

作为推论, 哈密顿方程与 $M$ 上坐标选取无关.

3诺特定理

寻找首次积分是我们求解常微分方程的主要方法. ⁴ 在力学问题中, 运动方程的首次积分是系统中不随时间演变而改变的物理量, 即守恒量. 常见的守恒量有能量、动量、角动量等等. 诺特定理提供了一种寻找守恒量的方法, 即系统对称性给出守恒量.

设 $L$ 是流形 $M$ 上的不含时拉氏量 ⁵, $g:TM\to TM$ 是切丛的自同胚.

定义 3.1. $g$ 称为系统的对称, 若 $g$ 保持拉氏量, 即 $L\circ g=L$.

我们称这个对称来自于构形空间, 如果存在 $M$ 的自同胚 $\phi$, 使得 $d\phi =g$. 在概念上, 系统的对称构成一个无穷维李群 $G$, 光滑地作用在切丛上; 来自构形空间的对称构成其有限维子群. $G$ 的李代数中的元素是单参数子群 ⁶$$g^s:TM\to TM$$(15)的无穷小生成元 (即 $TM$ 上的切向量场) .

考虑一个特殊的例子: $L$ 限制在每个切空间上是正定二次型. 此时 $M$ 是黎曼流形, 来自构形空间的对称就是 $M$ 上的等距. 等距的无穷小生成元即 Killing 向量场.

命题 3.2.

4正则方程

5辛几何

[哈密顿系统 (辛形式、正则坐标) 、hj 方程、hj 方程和 ode]

1.	Courant,Hilbert 的 Methods of mathematical physics I 就是这样做的.
2.	此例来自于 Courant,Hilbert 的 Methods of mathematical physics I, IV §10. 第 IV 章很详细地阐述了变分方法的历史及各种应用, 很难找到比这个更好的材料了.
3.	对完整约束系统的讨论见于 V.I. Arnold 的 Mathematical methods of classical mechanics, 4.17. Arnold 的书里有大量可计算的例子, 还有很多需要读者自己动手的习题. 据说 Arnold 讨厌法式的数学教学, 也不赞成把数学、物理分家的教学方法.
4.	有关例子见 Arnold 第二章.
5.	含时情形也有相应结果, 但我这里不想为了一般性而使得诺特定理的原始想法变得模糊.
6.	在计算上通常不要求是子群.

术语翻译

变分问题 • 英文 calculus of variation

最小阻力问题 • 英文 Newton’s minimal resistance problem

最速降线问题 • 英文 brachistochrone curve problem

临界点, 极值点 • 英文 stationary point, extremum

完整约束 • 英文 holonomic constraints

对合性 • 英文 involutivity